Taller Ecuaciones Separables Y Homogéneas

Nombres: Luz Elena Menco

1. Verificar que Cx+y2=xeyxes una solución dex2+y2dx+x2-xydy=0

a) Verificar.
Cx+y2=xeyx
2Cx+y-1+dydx=x.eyx.x.y´-y.x[x]2+eyxfactor común
=eyx.x.y´-yx+1
=eyx. x.y´x+eyx-yx+11
=eyx. dydx+eyxx-yx
2Cx+y-2Cx+y.dydx=eyx.dydx+eyx.x-yx

dydx=eyxx-yx-2Cx+y2Cx+y-eyx

E.D x2+y2+x2-xydydx=0x2+y2+x2-xy1.(eyxx-yx-2cx+y2Cx+y-eyx )
2Cx2x+y-x2eyx+2Cy2x+y-y2eyx+x2eyxx-yx-2Cx2x+y-xyeyxx-yx+2Cxyx+y
-x2eyx-y2eyx+x2eyx-xyeyx-xyeyx+y2eyx
2Cy2x+y+2Cxyx+y-2xyeyx=0

2cy(x+y+cxx+y-xeyx)=0
cx+yx+y-xeyx=0
Cx+y2=xeyxcx+yx+y-xeyx=0
Cx+y2=xeyx

R/ por lo tanto Cx+y2=xeyx si es la solución general de la E.D.
x2+y2dx+x2-xydy=0

2. La ecuación x+y-1dx+2x+2y-3dy=0 no es ecuación diferencial de variables separablesni homogénea, sin embargo si se hace x+y=u, la ecuación se transforma en una ecuación separable. Resuelva la ecuación.
x+y-1dx+2x+2y-3dy=0 u=x+y2x+2y-3dy=-x+y-1dxdudx=1+dydx
dudx-1=dydx
dydx=-(x+y-1)(2x+2y-3)dudx-1=-u-12u-3

dudx=u-12u-3+11

dudx=-u-1+2u-32u-3

dudx=u-22u-3

Sustitución:
uu-2
Sea k=u – 2
dk = du

k+2k dk

dk+2dkk

k+2 lnk
u-2+2 lnu-2
x+y+2+2 lnx+y-2

Sustitución:
uu-2
Seak=u – 2
dk = du

k+2k dk

dk+2dkk

k+2 lnk
u-2+2 lnu-2
x+y+2+2 lnx+y-2

2u-3u-2du=dx

2uu-2dx-3u-2 du=dx

2uu-2du-3u-2 du=dx

x+y-2+2 lnx+y-2-lnu-2=x

3. La ecuacióndydx=(2x+2y-6)(3x+y-7) no es homogénea debido a los términos independientes que aparecen tanto en el numerador como en el denominador de la fracción del segundo miembro. Traslade ejes al punto de intersección delas rectas 3x+y-7 y 2x+2y-6 para que la ecuación se transforme en una homogénea y resuelva la ecuación.
dydx=(2x+2y-6)(3x+y-7)

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Hallo el punto de intersección entre las siguientes...