Taller Matemáticas

Universidad de Antioquia Facultad de Ciencias Econ´micas o Departamento de Estad´ ıstica y Matem´ticas a Matem´ticas I a Taller # 4

1. Escribir en forma simb´lica los siguientes enunciados: o a) x es menor o igual que y b) x no es mayor que y c) x est´ entre −3 y 15 inclusive a d ) x est´ a menos de 2 unidades de 8 a e) x difiere de 3 en menos de dos f ) La distancia entre 9 y x es de 5 2.Responda Falso o Verdadero para las siguientes afirmaciones, si es verdadero justifique y en caso de ser falso d´ un contraejemplo. e a) Si a < b entonces ac < bc b) Si a < b entonces a2 < b2 c) Si a2 < b2 entonces a < b d ) Las desigualdades x ≤ y, y ≤ z y z ≤ x, juntas, implican x = y = z e) Si |x| < |y|, entonces x < y. f ) Si |x| < |y|, entonces x4 < y 4 . g) Si a < b < 0, entonces h) |x|2 = |x2 | =x2 i ) |x + y| = |x| + |y| unicamente cuando x ≥ 0, y ≥ 0 ´ j ) |x| < 3 implica x < 3 k ) |x − 5| < 2 implica 3 < x < 7 l ) Si a ≤ b entonces a2 ≤ ab m) Si a ≤ b entonces a − 2 ≤ b − 2 n) La ecuaci´n |x − 2| = −1 no tiene soluci´n en R o o n) | − x| = −x ˜
1 a

>

1 b

o) No existe un x ∈ R tal que |x − 1| = |x − 2| 3. Resuelva la desigualdad. Exprese la soluci´n en forma de intervalo eilustre el conjunto o soluci´n en la recta real. o a) −7 < 3 + 2x < 8 b) −3 < 1 − 6x ≤ 4 c) 3x + 11 ≤ 6x + 8 d ) 5 − 3x ≤ −(2 + 11x) e) (2x − 1)(4 − x) > 0 f ) x2 − 3x − 18 ≤ 0 g) x2 + 5x + 6 > 0 h) 2x2 + x ≥ 1 i ) 9 − x2 ≤ −3 4. Encuentre los valores de x que satisfacen a) |x + 1| = 5 b) |2x + 5| = 7x − 2 c) | 2 x − 3| = |x + 1| 5 d ) |x + 2||x − 2| = 0 e) |x + |x − 1|| = 2
x−8 f ) | x+5 | = 2j ) x2 > 3(x + 6) k ) x(x2 − 4) ≥ 0 l) m) n) n) ˜
x−3 x+1 4x 2x+3 1 1−x 7 4x

≥0 >2 ≤
3 x

≤7

o) (2x − 3)(x − 1)2 (x − 3) ≥ 0 p)
(x−1)2 (x+1)(x+2)

>0

q) (x + 1)(x2 + 2x − 7) ≥ x2 − 1

5. Resuelva la desigualdad. Exprese la soluci´n en forma de intervalo e ilustre el conjunto o soluci´n en la recta real. o a) |x − 2| ≥ 5 b) |x + 2| < 1 c) e)
x−1 | x−3 | 1 f ) | x − 3| > 6 5 g)|2 + x | ≤ 1

2

d ) |3x − 2| ≤ 0,04
1 |x+7|

h) |x − 2| < 2|x − 5| i ) 3|3x − 2| < |x + 10|

6. La compa˜´ Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta se $20 y nıa un costo unitario de 15. Si los costos fijos de $600000, determine el n´mero m´ u ınimo de unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades. 7. Para producir una unidad de un producto nuevo,una compa˜´ determina que el costo nıa del material es de $2,50 y el de mano de obra de $4. El costo fijo constante, sin importar

el volumen de ventas, es de $5000. Si el precio para un mayorista es de $7,40 por unidad, determine el n´mero m´ u ınimo de unidades que deben venderse para que la compa˜´ nıa obtenga utilidades. 8. Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre el costode comprar un autom´vil y el arrendarlo con opci´n de compra. Puede rentar un autom´vil por $420 o o o al mes (cotizado anualmente). Bajo este plan, el costo por milla (gasolina y aceite) es $0,06. Si comprara el autom´vil, el gasto fijo anual seria de $4700, y los otros costos o ascender´ a $0,08. Por milla. ¿Cu´l es el m´ ıan a ınimo de millas que tendr´ que conducir ıa por a˜o para que elarrendamiento no fuese m´s caro que la compra? n a 9. Una f´brica de camisetas produce N prendas con un costo de mano de obra total (en a d´lares) de 1,3N y un costo total por material de 04N . Los costos fijos constantes de o la planta son de $6500. Si cada camiseta se vende en $3,50. ¿Cu´ntas deben venderse a para que la compa˜´ obtenga utilidades? nıa 10. El costo unitario de publicaci´n de unarevista es de $0,55. Cada revista se vende o al distribuidor en $0.60, y la cantidad que se recibe por publicidad es el 10 % de la cantidad recibida por todas las revista vendidas por arriba de las 30000. Encuentre el n´mero m´ u ınimo de revistas que pueden publicarse sin p´rdida - esto es, tal que la e utilidad ≥ 0-suponiendo que se vender´n 90 % de los ejemplares. a 11. Una compa˜´ produce relojes...