Taller morkov


EJERCICIOS RESUELTOS DE CADENAS DE MARKOV


1) En un pueblo, al 80% de los días soleados le siguen días soleados, y al 70% de los días nublados le siguen más días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov. ¿Cuántas camisetas para día soleado debe tener para una semana?


SOLUCIÓN:
Se trata de una cadena de Markov con dos estados {Soleado,Nublado} que para abreviar representaremos por {S, N}, siendo la matriz de probabilidades de transición:

Tiempo de hoy (x1) Tiempo de mañana (x2)
0,8 soleado
soleado
Nublado
0,2
Tiempo de hoy (x1) Tiempo de mañana (x2)
0,3 soleado
nublado
Nublado
0,7
Con dos estados {s1= soleado, s2 = nublado} que para abreviar representaremos por {s1, s2}, siendo la matrizde probabilidades de transición:
s1 s2

P= 0.8 0.2 s1
0.3 0.7 s2


RESPUESTA: La cantidad de camisetas de debe tener en días soleados es de durante una semana es de

7 dias * 80% = 5.6 Camisas. Aproximando 6 camisas por semana para los días soleados.






2) El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El pisoen el que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso, sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por último, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide:

a) Calcular la matrizde probabilidades de transición de la cadena
b) Dibujar el grafo asociado
c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre
en cada uno de los tres pisos.

SOLUCIÓN:
a) Los estados de la cadena los denotaremos por { 0, 1 , 2} haciendo corresponder el 0 al bajo y 1 y 2 al primer y segundo piso respectivamente.

Las probabilidades de transición son:

p00 =P(Rn=0 / Rn-1=0), esto es la probabilidad de que el ascensor se encuentre en la planta baja si en la etapa anterior estaba en la planta baja. Obviamente es 0, porque se supone que de etapa a etapa el ascensor se mueve.
p01 = P(Rn=1 / Rn-1=0), esto es la probabilidad de que el ascensor se encuentre en la planta primera si en la etapa anterior estaba en la planta baja. Obviamente es ½.
Y asísucesivamente vamos obteniendo las distintas probabilidades de transición cuya matriz es:



3º) Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades Armenia, Bogotá y Cali. Para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en Cali, laprobabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es 0,4, la de tener que viajar a Bogotá es 0,4 y la de tener que ir a Armenia
es 0,2. Si el viajante duerme un día en Bogotá, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a Cali, mientras que irá a Armenia con probabilidad 0,2. Por último si el agentecomercial trabaja todo un día en Armenia, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente con una probabilidad 0,1, irá a Bogotá con una probabilidad de 0,3 y a Ccali con una probabilidad de 0,6.

a) Si hoy el viajante está en Cali, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en Cali al cabo de cuatro días?

b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente comercialestá en cada una de las tres ciudades?

Desarrollando resulta el sistema de ecuaciones lineales: Elimino y en las dos primeras: -33x+12z = 0, y elimino y en las dos últimas: 12z=6; de ambas se deduce que x =2/11=0,1818 y = 7/22=0.3181
z = 0,5. En porcentajes serían el 18,18% para la ciudad Armenia, el 31,81 para Bogotá y el 50% para Cali.






4º) Suponga que toda la industria de...