Taller No 5

UNIVERSIDAD DEL VALLE
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
´
TALLER-GU´IA No 5 de CALCULO
II
´
Profesor: Alvaro
Garz´
on Rojas.

Marzo 2 de 2015

Tabla de sustituciones trigonom´etricas
Expresi´on
√

a2 − x 2

√
√

a2 + x 2

x 2 − a2

Sustituci´on

Identidad

π
π
≤θ≤
2
2
π
π
x = a · tan(θ) − < θ <
2
2
π
3π
x = a · sec(θ) 0 ≤ θ < − o π ≤ θ <
2
2
x = a · sen(θ) −

1 − sen2 (θ) = cos2 (θ)
1 + tan2 (θ) =sec2 (θ)
sec2 (θ) − 1 = tan2 (θ)

El siguiente ejemplo permite exhibir una t´ecnica para evaluar integrales del tipo;
Ax + B
dx
+ bx + c)n

(ax2

donde n es un n´umero entero positivo. La idea es separar la integral en dos integrales m´as sencillas,
una de las cuales se resolver´a por sustituci´on, la otra la resolveremos completando el cuadrado en la
expresi´on cuadr´atica del denominador yusaremos alguna de las sustituciones trigonom´etricas propuestas
en el cuadro de arriba.

Ejemplo 1. Eval´ue la integral
2 + 6x
dx dado que
(3 + 2x − x2 )2

|x − 1| < 2

Soluci´
on. Observe que puesto que la derivada Dx (3 + 2x − x2 ) es 2 − 2x y en el numerador tenemos
la expresi´on 2 + 6x no es posible resolver esta integral por sustituci´on, es por eso que construimos la

expresi´on 2 − 2x a partirde 2 + 6x sumando y restando apropiadamente asi:
2 + 6x = −8 + 2 + 6x + 8 = −6 + 6x + 8 = −3(2 − 2x) + 8,
luego podemos entonces escribir la integral anterior como
2 + 6x
dx = −3
(3 + 2x − x2 )2

(2 − 2x) dx
+8
(3 + 2x − x2 )2

dx
,
(3 + 2x − x2 )2

de donde claramente la primera integral se puede calcular por sustituci´on obteniendo como resultado

−3

3
(2 − 2x) dx
=
+ C.
2
2
(3 + 2x − x )
3 + 2x− x2

Ahora, para resolver la integral

8

dx
,
(3 + 2x − x2 )2

completaremos cuadrados en la expresi´on cuadr´atica del denominador del integrando asi:
3+2x−x2 = −(−3−2x+x2 ) = −(x2 −2x−3) = −(x2 −2x+1 − 1 −3) = −((x−1)2 −4) = 4−(x−1)2 .
Luego

8

dx
=8
(3 + 2x − x2 )2

dx
.
(4 − (x − 1)2 )2

En este punto podemos ver que el denominador del integrando tiene la forma a2 − y 2 con a = 2 y

y = x− 1. Observe adem´as que la condici´on |y| = |x − 1| < 2 nos permite realizar la sustituci´on
trigonom´etrica, de acuerdo con el cuadro de la p´agina anterior, x − 1 = 2sen(θ) de donde dx =

2 cos(θ)dθ y por lo tanto la integral se transforma en

8

dx
= 8
(3 + 2x − x2 )2

dx
= 8
(4 − (x − 1)2 )2
2

2 cos(θ) dθ
(4 − 4sen2 (θ))2

2 cos(θ) dθ
(4 cos2 (θ))2

= 8
=
=

sec3 (θ) dθ
1
sec(θ) tan(θ) + ln |sec(θ) + tan(θ)| + C
2

Ahora bien, puesto que debemos regresar a nuestra variable inicial x, entonces procedemos como sigue:
x−1
, entonces construimos un tri´angulo
2
rect´angulo donde identificamos su ´angulo agudo, con el s´ımbolo θ, su cateto opuesto lo marcamos con
La sustituci´on x − 1 = 2sen(θ) implica que sen(θ) =

x−1 y su hipotenusa con el n´umero 2, as´ı las cosas a su catetoadyacente le corresponde

4 − (x − 1)2

como se muestra en la figura. A continuaci´on expresaremos las cantidades tan(θ) y sec(θ) que aparecen
en (∗) en t´erminos de la variable x. Para ello observemos que:

cos(θ) =
2

x−1

tan(θ) =

θ
4 − (x − 1)2

sec(θ) =

4 − (x − 1)2
2

y por lo tanto

x−1

y

4 − (x − 1)2
2
4 − (x − 1)2

,

luego reemplazando los respectivos valores en la ecuacion (∗) tenemos queque:
8

dx
x−1
1
x+1
=
+ ln √
+C
2
2
2
(3 + 2x − x )
3 + 2x − x
2
3 + 2x − x2

y en conclusi´on
x+1
x+2
1
2 + 6x
+C
dx =
+ ln √
2
2
2
(3 + 2x − x )
3 + 2x − x
2
3 + 2x − x2
Usted bebe verificar todos los c´alculos.

Ejercicio 1. Calcule las siguientes integrales siguiendo la estrategia empleada en el ejemplo 1.
(1)

4x2

2x − 1
dx
+ 4x − 15

(2)

√

x
dx
5 + 12x − 9x2
3

(3)

(x2

3x − 1
dx
+ x +1)2

(∗)

LA INTEGRAL DEFINIDA

Propiedades la las sumatorias

Para todo entero positivo n se tiene:
n

(0)

k

= k·n

c · ai

= c·

i=1
n

(1)
i=1

n

n

(2)

ai
i=1

n

(ai + bi ) =
i=1

=

n(n + 1)
.
2

i2

=

n(n + 1)(2n + 1)
.
6

i3

=

n2 (n + 1)2
.
4

n

i=1
n

(5)

bi
i=1

i
i=1

(4)

ai +
i=1

n

(3)

n

i=1

Ejemplo 2. Use las propiedades de la sumatoria para calcular
10

i=1

(2i2 −...