Taller No
Páginas: 8 (1911 palabras)
Publicado: 12 de agosto de 2015
3.1 Vectores en el plano
229
De los problemas 1 al 16 encuentre la magnitud y dirección del vector dado.
1. v 5 ( 4, 4 )
2. v 5 (24, 4 )
3. v 5 ( 3, 22 )
4. v 5 ( 4, 24 )
5. v 5 (24, 24 )
6. v 5 (2
2 3, 22 )
7. v 5 ( 3, 1)
8. v 5 (1, 3 )
9. v 5 (22, 3 )
13. v 5 (21, 2 3 )
10. v 5 (21, 3 )
11. v 5 (1, 2 3 )
12. v 5 ( 3, 2 )
14. v 5 (1, 2 )
15. v 5 (25, 8)
16. v 5 (11, 214 )
17.Sea u 5 (2, 3) y v 5 (25, 4). Encuentre a ) 3u; b ) u 1 v; c ) v 2 u; d ) 2u 2 7v. Bosqueje estos
vectores.
18. Sea u 5 23i 1 2j y v 5 4i 1 5j. Encuentre: a ) u 1 v; b ) u 2 v; c ) v 2 u; d ) 22u 1 3v;
e ) 2u 2 3v; f ) u 1 2v. Bosqueje estos vectores.
19. Sea u 5 2i 2 3j y v 5 24i 1 6j. Encuentre a) u 1 v; b) u 2 v; c) 3u; d) 27v; e) 8u 2 3v;
f ) 4v 2 6u. Bosqueje estos vectores.
20. Demuestre queel vector
(
3
5
)
, 2 45 es un vector unitario.
21. Muestre que los vectores i y j son vectores unitarios.
(
22. Demuestre que el vector 1
) (
2 i1 1
)
2 j es un vector unitario.
(
23. Demuestre que si v 5 ai 1 bj Z 0, entonces u 5 a
unitario que tiene la misma dirección que v.
) (
a2 1 b2 i 1 b
)
a 2 1 b 2 j es un vector
De los problemas 24 al 29 encuentre un vector unitario quetenga la misma dirección que el
vector dado.
24. v 5 2i 1 3j
25. v 5 4i 2 6j
28. v 5 23i 2 8j
29. v 5 ai 1 aj; a Z 0
30. Si v 5 ai 1 bj demuestre que a
ción de v.
26. v 5 i 2 j
a 2 1 b 2 5 cos θ y b
27. v 5 23i 1 4j
a 2 1 b 2 5 sen θ, donde θ es la direc-
31. Si v 5 2i 2 3j encuentre sen θ y cos θ.
32. Si v 5 4i 2 j encuentre sen θ y cos θ.
Un vector v tiene dirección opuesta a la delvector u si dirección de v 5 dirección de u 1 π. De
los problemas 33 al 38 encuentre un vector unitario v que tenga dirección opuesta a la dirección
del vector dado u.
33. u 5 i 1 j
34. u 5 2i 2 3j
37. u 5 22i 1 3j
38. u 5 23i 2 8j
35. u 5 4i 2 6j
36. u 5 23i 1 4j
39. Sea u 5 2i 2 3j y v 52i 1 2j. Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección
que: a) u 1 v; b) 2u 2 3v; c) 3u 1 8v.S
40. Sea P 5 (c, d ) y Q 5 (c 1 a, d 1 b). Muestre que la magnitud de PQ es a 2 1 b 2 .
S
41. Demuestre que la dirección de PQ en el problema 40 es la misma que la dirección del vector
(a, b). [Sugerencia: si R 5 (a, b), demuestre que la recta que pasa por los puntos P y Q es
paralela a la recta que pasa por los puntos 0 y R.]
230
CAPÍTULO 3
Vectores en R2 y R3
De los problemas 42 al 47encuentre un vector v que tenga la magnitud y dirección dadas.
v 5 4; θ 5 π
42. v 5 3; θ 5 π 6
43.
45. v 5 1; θ 5 π 4
46. v 5 2; θ 5 π 2
44.
v 5 8; θ 5 π 3
47. v 5 6; θ 5 2π 3
*48. Demuestre de manera algebraica (es decir, estrictamente de las deiniciones de suma y magnitud de vectores) que para cualesquiera dos vectores u y v, |u 1 v| # |u| 1 |v|.
49. Demuestre que si u y v son diferentes delvector cero, entonces |u 1 v| 5 |u| 1 |v| si y sólo si
u es un múltiplo escalar positivo de v.
RESPUESTAS
I. d)
A LA AUTOEVALUACIÓN
II. d)
III. d)
IV. b)
V. b 5 c
MANEJO DE LA CALCULADORA
M
Se puede trabajar con vectores en la calculadora HP 50g. Primero seleccionamos el
modo de coordenadas rectangulares para la representación de vectores, con la bandera
MTH
| se presenta la si177 delsistema en la posición de elección, al oprimir
guiente ventana
El menú de VECTOR contiene las siguientes funciones:
Y hay que asegurarse que la opción 7 esté seleccionada (esto se verá como texto blanco
sobre fondo negro)
[]
Se pueden escribir vectores directamente en la pila utilizando la secuencia
|
y escribiendo los números separados por comas o espacios, inalizando con la tecla ENTER ,
porejemplo el vector (3,5)
240
CAPÍTULO 3
Vectores en R2 y R3
V. Proywu 5 ______________
a)
uw
w
b)
w
w
c)
uw w
w w
d)
uwu
u u
De los problemas 1 al 10 calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo
entre ellos.
1. u = i + j; v = i − j
2. u = 3i; v = − 7 j
3. u = 2 i 2 3 j; v = 2i 1 3 j
4. u = − 5i; v = 18 j
5. u = αi; v = βj; α, β reales
6. u = 24 i 2 2 j; v...
229
De los problemas 1 al 16 encuentre la magnitud y dirección del vector dado.
1. v 5 ( 4, 4 )
2. v 5 (24, 4 )
3. v 5 ( 3, 22 )
4. v 5 ( 4, 24 )
5. v 5 (24, 24 )
6. v 5 (2
2 3, 22 )
7. v 5 ( 3, 1)
8. v 5 (1, 3 )
9. v 5 (22, 3 )
13. v 5 (21, 2 3 )
10. v 5 (21, 3 )
11. v 5 (1, 2 3 )
12. v 5 ( 3, 2 )
14. v 5 (1, 2 )
15. v 5 (25, 8)
16. v 5 (11, 214 )
17.Sea u 5 (2, 3) y v 5 (25, 4). Encuentre a ) 3u; b ) u 1 v; c ) v 2 u; d ) 2u 2 7v. Bosqueje estos
vectores.
18. Sea u 5 23i 1 2j y v 5 4i 1 5j. Encuentre: a ) u 1 v; b ) u 2 v; c ) v 2 u; d ) 22u 1 3v;
e ) 2u 2 3v; f ) u 1 2v. Bosqueje estos vectores.
19. Sea u 5 2i 2 3j y v 5 24i 1 6j. Encuentre a) u 1 v; b) u 2 v; c) 3u; d) 27v; e) 8u 2 3v;
f ) 4v 2 6u. Bosqueje estos vectores.
20. Demuestre queel vector
(
3
5
)
, 2 45 es un vector unitario.
21. Muestre que los vectores i y j son vectores unitarios.
(
22. Demuestre que el vector 1
) (
2 i1 1
)
2 j es un vector unitario.
(
23. Demuestre que si v 5 ai 1 bj Z 0, entonces u 5 a
unitario que tiene la misma dirección que v.
) (
a2 1 b2 i 1 b
)
a 2 1 b 2 j es un vector
De los problemas 24 al 29 encuentre un vector unitario quetenga la misma dirección que el
vector dado.
24. v 5 2i 1 3j
25. v 5 4i 2 6j
28. v 5 23i 2 8j
29. v 5 ai 1 aj; a Z 0
30. Si v 5 ai 1 bj demuestre que a
ción de v.
26. v 5 i 2 j
a 2 1 b 2 5 cos θ y b
27. v 5 23i 1 4j
a 2 1 b 2 5 sen θ, donde θ es la direc-
31. Si v 5 2i 2 3j encuentre sen θ y cos θ.
32. Si v 5 4i 2 j encuentre sen θ y cos θ.
Un vector v tiene dirección opuesta a la delvector u si dirección de v 5 dirección de u 1 π. De
los problemas 33 al 38 encuentre un vector unitario v que tenga dirección opuesta a la dirección
del vector dado u.
33. u 5 i 1 j
34. u 5 2i 2 3j
37. u 5 22i 1 3j
38. u 5 23i 2 8j
35. u 5 4i 2 6j
36. u 5 23i 1 4j
39. Sea u 5 2i 2 3j y v 52i 1 2j. Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección
que: a) u 1 v; b) 2u 2 3v; c) 3u 1 8v.S
40. Sea P 5 (c, d ) y Q 5 (c 1 a, d 1 b). Muestre que la magnitud de PQ es a 2 1 b 2 .
S
41. Demuestre que la dirección de PQ en el problema 40 es la misma que la dirección del vector
(a, b). [Sugerencia: si R 5 (a, b), demuestre que la recta que pasa por los puntos P y Q es
paralela a la recta que pasa por los puntos 0 y R.]
230
CAPÍTULO 3
Vectores en R2 y R3
De los problemas 42 al 47encuentre un vector v que tenga la magnitud y dirección dadas.
v 5 4; θ 5 π
42. v 5 3; θ 5 π 6
43.
45. v 5 1; θ 5 π 4
46. v 5 2; θ 5 π 2
44.
v 5 8; θ 5 π 3
47. v 5 6; θ 5 2π 3
*48. Demuestre de manera algebraica (es decir, estrictamente de las deiniciones de suma y magnitud de vectores) que para cualesquiera dos vectores u y v, |u 1 v| # |u| 1 |v|.
49. Demuestre que si u y v son diferentes delvector cero, entonces |u 1 v| 5 |u| 1 |v| si y sólo si
u es un múltiplo escalar positivo de v.
RESPUESTAS
I. d)
A LA AUTOEVALUACIÓN
II. d)
III. d)
IV. b)
V. b 5 c
MANEJO DE LA CALCULADORA
M
Se puede trabajar con vectores en la calculadora HP 50g. Primero seleccionamos el
modo de coordenadas rectangulares para la representación de vectores, con la bandera
MTH
| se presenta la si177 delsistema en la posición de elección, al oprimir
guiente ventana
El menú de VECTOR contiene las siguientes funciones:
Y hay que asegurarse que la opción 7 esté seleccionada (esto se verá como texto blanco
sobre fondo negro)
[]
Se pueden escribir vectores directamente en la pila utilizando la secuencia
|
y escribiendo los números separados por comas o espacios, inalizando con la tecla ENTER ,
porejemplo el vector (3,5)
240
CAPÍTULO 3
Vectores en R2 y R3
V. Proywu 5 ______________
a)
uw
w
b)
w
w
c)
uw w
w w
d)
uwu
u u
De los problemas 1 al 10 calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo
entre ellos.
1. u = i + j; v = i − j
2. u = 3i; v = − 7 j
3. u = 2 i 2 3 j; v = 2i 1 3 j
4. u = − 5i; v = 18 j
5. u = αi; v = βj; α, β reales
6. u = 24 i 2 2 j; v...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.