Taller rlocus

TALLER SOBRE LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

1. En la figura se ilustra un diagrama de bloques simplificado de un servomecanismo de alumno humano. El término e-0,18s representa un tiempo de retardo. Esta función se puede aproximar por lo que se conoce como APROXIMACIÓN DE PADE. Esta aproximación puede tomar numerosas formas cada vez más complicadas, dependiendo del grado de precisiónnecesario. Si se emplea la aproximación de Pade:

Fig. 1. Diagrama de bloques del problema 1

Entonces:

Como el flujo de luz en la retina es una función de la apertura del iris, las oscilaciones en la cantidad de flujo de luz en la retina implican oscilaciones del iris. Encuentre lo siguiente:

a) El valor de K que producirá oscilaciones
b) La frecuencia de estas oscilaciones
c) El lugargeométrico de las raíces

Solución:
ms= k*61.73s2+11.11s+61.73(s+10)3

ms= k*61.73(s+10)3(s2+11.11s+61.73)

fs=k*61.73(s+10)3(s2+11.11s+61.73)1+k*61.73(s+10)3(s2+11.11s+61.73)

fs= k*61.73s5+20.11s4+188.72s3+882.54s2+1966.68s+(1666.7+k*61.73)

Criterio de Routh

Condiciones necesarias pero no suficientes:

1666.7+61.73k 0;k -26.99

s5 | 1 | 188.72 | 1966.68 |
S4 | 20.11 |882.54 | 1666.7+61.73k |
S3 | 144.83 | 1883.8+3.06K | |
S2 | 620.9+0.42K | 1666.7+61.73K | |
S1 | K2-6249.16K+928263620.9+0.42K | | |
S0 | 1666.7+61.73K | | |

620.9+0.42K 0 ; k -1478.3

K2-6249.16K+928263620.9+0.42K0 ;K 4728.79 .K 153.36

2. La función de transferencia para un avión F-16, que relaciona el ángulo de ataque (t), con la desviación de elevador, e(t), está dadapor:

Suponga el diagrama de bloques que se muestra en la figura para controlar el ángulo de ataque, y haga lo siguiente:

Fig. 1. Diagrama de bloques del problema 2

a) Encuentre el intervalo K para estabilidad
b) Grafique o trace el lugar geométrico de las raíces

Solución

G(S)= 0.072s+23(s2+0.05s+0.04s-0.7s+1.7(s2+0.08s+0.04)Gs*k=K*0.072s+23(s2+0.05s+0.04)s-0.7s+1.7(s2+0.08s+0.04)

Fs=K*0.072s+23(s2+0.05s+0.04)s-0.7s+1.7(s2+0.08s+0.04)1+K*0.072s+23(s2+0.05s+0.04)s-0.7s+1.7(s2+0.08s+0.04)

F(s)=k*1.722s3+86.1*10-3s2+68.88*10-3ss4+1.08+0.72ks3+1.65k-1.07s2+-55*10-3+84.810-3ks+(0.066k-0.043)

Criterio de Routh

Condiciones necesarias pero no suficientes:

1.08+0.72k 0;k -15
1.65k-1.070 ;k 0.648
-55*10-3+84.810-3k0 ;k 0.648
0.066k-0.0430 ; K 0.651S4 | 1 | -1.07+1.65k | 0.066k-0.043 |
S3 | 1.08+0.72k | -55*10-3+84.810-3k | |
S2 | 0.118k2+1.61k-1.0951.08+0.72k | 0.066k-0.043 | |
S1 | 9.66*10-3k3+0.123k2-0.25k+0.110.118k2+1.61k-1.0951.08+0.72k | | |
S0 | 0.066k-0.043 | | |

0.118k2+1.61k-1.0951.08+0.72k0 ; K0.629 ,k -14.29

9.66*10-3k3+0.123k2-0.25k+0.110.118k2+1.61k-1.0951.08+0.72k0 ;k1.15 , k-14.64, k0.678

Intervalo deEstabilidad

K 0.651

Lugar geométrico de las raíces

* Ceros
z1=0 z2=-0.025-j0.198 z3=-0.025+j0.198

* Polos
p1=-1.7 p2=0.7 p3=-0.04-j0.195 p4=-0.04+j0.195

Número de Ramas: 4 n=4 y m =3

* Centro de Gravedad

c.g=Repolos-Re(ceros)n-m
C.G =-0.515

* Angulo de las Asíntotas

φ=2h+1*180°n-m h=0,1,2,3…

φ1=90 φ2=270

* Puntos de Ruptura

K=-1G(δ) -(δ4+1.08δ3+-1.07δ2+-55*10-3δ+(-47.6*10-3)1.722δ3+86.1*10-3δ2+68.88*10-3δ
dkdδ=0=-1.72δ6+0.17δ5+2.13δ4+0.33δ3+0.17δ2+8.09*10-3δ+3.27*10-3=0

δ0=-0.089-j0.225
δ1=-0.089+j0.225
δ2= 0.006-j0.164i
δ3= 0.006+j0.164i
δ4= 0.033-j1.071
δ5= 0.033+j1.071

* Representación Grafica




3. En la figura se ilustra, enforma simplificada, el diagrama de bloques para el control del ángulo de rumbo de un vehículo de guía propia. Halle el intervalo de K para que haya estabilidad y trace el lugar geométrico de las raíces para este sistema de control.


Fig. 1. Diagrama de bloques del problema 3


Solución:
F(s)=50ks4+15s3+100s2+250s

F(S)= 50ks4+15s3+100s2+250s+50k

Criterio de Routh...