Taller SD

TALLER DE SISTEMAS DINAMICOS

PRESENTADO A:
ING. CARLOS ROBLES ALGARÍN

INTEGRANTES:
HEINER PEREZ WATSON
FREDY MORALES
LIZ QUITERO
LIZETH DE LA HOZ

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
SANTA MARTA – MAGDALENA
2015

Taller 2015 Sistemas Dinámicos
1. Determinar si las siguientes señales son periódicas y verificar de forma gráfica el resultado en Matlab.
a) 𝑿(𝐭) = 𝐣𝐞𝐣𝟏𝟎𝐭Para que 𝐗(𝐭) se ha periódica debe cumplirse que 𝐗(𝐭) = 𝑿(𝒕 + 𝑻)
Por lo tanto evaluamos
𝑿(𝒕 + 𝑻) = 𝐣𝐞𝐣𝟏𝟎(𝐭+𝐓)
𝑿(𝒕 + 𝑻) = 𝐣𝐞𝐣𝟏𝟎(𝐭) . 𝐣𝐞𝐣𝟏𝟎(𝐓)
𝐣𝐞𝐣𝟏𝟎(𝐓) = 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝑻 + 𝐣𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝑻 = 𝟏 ; 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝐣𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝑻 = 𝟎
𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝑻 = 𝟏
𝟏𝟎𝑻 = 𝟐𝒏𝝅 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 …

𝑻=

𝟐𝒏𝝅
𝟏𝟎

;𝒏 = 𝟏 → 𝑻 =
𝝅
𝐣𝐞𝐣𝟏𝟎(𝐭+ 𝟓 )

𝝅
𝟓

= 𝟎. 𝟔𝟐𝟖

𝑿(𝒕 + 𝑻) =
De este modo se cumple que 𝐗(𝐭) = 𝑿(𝒕 + 𝑻)
A continuación en la figura 1.1 observará la gráficade la ecuación del ejercicio 1.a el código
respectivo lo encontrara en el anexo 1.1.
Realizando la operación 𝑥 − 𝑥0 = 4.87 − 4.242 = 0.628 podemos calcular gráficamente el
periodo y corroborar el resultado obtenido matemáticamente.

Figura 1.1

b) 𝑿(𝒕) = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 (𝟏𝟎𝒕 + 𝟏) − 𝐣𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒕 − 𝟏)
Para que 𝐗(𝐭) se ha periódica debe cumplirse que 𝐗(𝐭) = 𝑿(𝒕 + 𝑻)
Por lo tanto evaluamos
𝑿(𝒕 + 𝑻) = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 (𝟏𝟎𝒕 +𝟏𝟎𝑻 + 𝟏) − 𝐣𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒕 + 𝟒𝑻 − 𝟏)
Teniendo en cuenta que:
𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 (𝜽 + 𝟐𝒏𝟏 𝝅) ; → 𝟏𝟎𝑻 = 𝟐𝒏𝟏 𝝅𝑬𝑪𝑼𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝐬𝐢𝐧 (𝜽 + 𝟐𝒏𝟐 𝝅) ; → 𝟒𝑻 = 𝟐𝒏𝟐 𝝅𝑬𝑪𝑼𝟐
𝟏𝟎𝑻 𝟐𝒏𝟏 𝝅
𝟓 𝒏𝟏
=
;→ =
; 𝒏𝟏 = 𝟓 𝒚 𝒏𝟐 = 𝟐
𝟒𝑻
𝟐𝒏𝟐 𝝅
𝟐 𝒏𝟐
Remplazando 𝒏𝟏 = 𝟓 𝒚 𝒏𝟐 = 𝟐 en la Ecu1 y Ecu2 respetivamente tenemos que:
𝟏𝟎𝑻 = 𝟐(𝟓)𝝅 → 𝑻 = 𝝅
𝟒𝑻 = 𝟐(𝟐)𝝅 → 𝑻 = 𝝅 = 𝟑. 𝟏𝟒 …
Heiner Pérez Watson
Liz Quintero

Fredy Morales
Lizeth de la hoz

Taller 2015 SistemasDinámicos
𝑿(𝒕 + 𝑻) = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 (𝟏𝟎𝒕 + 𝟏𝟎𝝅 + 𝟏) − 𝐣𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒕 + 𝟒𝝅 − 𝟏)
De este modo se cumple que 𝐗(𝐭) = 𝑿(𝒕 + 𝑻)
A continuación en la figura 1.2 observará la gráfica de la ecuación del ejercicio 1.b el código
respectivo lo encontrara en el anexo 1.2.
Realizando la operación 𝑥 − 𝑥0 = −1.034 − (−4.178) = 3.14 podemos calcular gráficamente el
periodo y corroborar el resultado obtenido matemáticamente.

Figura 1.2c) 𝐗(𝐭) =

𝐣−𝟏
√𝟐

𝐞𝐣𝟏𝟎𝐭

Para que 𝐗(𝐭) se ha periódica debe cumplirse que 𝐗(𝐭) = 𝑿(𝒕 + 𝑻)
Por lo tanto evaluamos
𝑿(𝒕 + 𝑻) =
𝑿(𝒕 + 𝑻) =
𝐣−𝟏
√𝟐

𝐣−𝟏
√𝟐
𝐣−𝟏
√𝟐

𝐞𝐣𝟏𝟎(𝐭+𝐓)
𝐞𝐣𝟏𝟎(𝐭) .

𝐣−𝟏
√𝟐

𝐞𝐣𝟏𝟎(𝐓)

𝐞𝐣𝟏𝟎(𝐓) = 𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝑻 + 𝐣𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝑻 = 𝟏 ; 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝐣𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝑻 = 𝟎
𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝑻 = 𝟏
𝟏𝟎𝑻 = 𝟐𝒏𝝅 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 …

𝑻=

𝟐𝒏𝝅
𝟏𝟎

;𝒏 = 𝟏 → 𝑻 =

𝑿(𝒕 + 𝑻) =

𝐣−𝟏

𝝅

𝝅
𝟓

= 𝟎. 𝟔𝟐𝟖

𝐞𝐣𝟏𝟎(𝐭+𝟓) De este modo se cumple que 𝐗(𝐭) =𝑿(𝒕 + 𝑻)
√𝟐

A continuación en la figura 1.3 observará la gráfica de la ecuación del ejercicio 1.c el código
respectivo lo encontrara en el anexo 1.3.
Realizando la operación 𝑥 − 𝑥0 = −4.634 − (−4.005) = 0.628 podemos calcular gráficamente
el periodo y corroborar el resultado obtenido matemáticamente.

Heiner Pérez Watson
Liz Quintero

Fredy Morales
Lizeth de la hoz

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Figura 1.3

d) 𝐗[𝐧] =

𝐣−𝟏
√𝟐

𝐞𝐣𝟏𝟎𝐧

Para que 𝐗(𝐭) se ha periódica debe cumplirse que 𝐗[𝐧] = 𝑿[𝒏 + 𝑵]
Por lo tanto evaluamos
𝑿[𝒏 + 𝑵] =
𝑿[𝒏 + 𝑵] =
𝐣−𝟏
√𝟐

𝐣−𝟏
√𝟐
𝐣−𝟏
√𝟐

𝐞𝐣𝟏𝟎(𝒏+𝑵)
𝐞𝐣𝟏𝟎𝐧 .

𝐣−𝟏
√𝟐

𝐞𝐣𝟏𝟎(𝐍)

𝐞𝐣𝟏𝟎(𝐍) = 𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝑵 + 𝐣𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝑵 = 𝟏 ; 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝐣𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝑵 = 𝟎
𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝑵 = 𝟏
𝟏𝟎𝑵 = 𝟐𝒏𝝅 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 …

𝑵=

𝟐𝒏𝝅
𝟏𝟎

;𝒏 = 𝟏 → 𝑵 =

𝑿[𝒏 + 𝑵] =

𝐣−𝟏 𝐣𝟏𝟎(𝒏+𝝅)
𝟓
𝐞
√𝟐

𝝅
𝟓

= 𝟎. 𝟔𝟐𝟖

De este modo secumple que 𝐗[𝐧] = 𝑿[𝒏 + 𝑵]

A continuación en la figura 1.4 observará la gráfica de la ecuación del ejercicio 1.d el código
respectivo lo encontrara en el anexo 1.4.
Realizando la operación 𝑥 − 𝑥0 = −4.009 − (−4.629) = 0.62 podemos calcular gráficamente el
periodo y corroborar el resultado obtenido matemáticamente.

Heiner Pérez Watson
Liz Quintero

Fredy Morales
Lizeth de la hoz

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Figura 1.4
𝟐

e) 𝑿(𝒕) = 𝟖 𝐬𝐢𝐧 (𝟐𝟎𝟎𝟎𝝅𝒕) + 𝟒 𝐜𝐨𝐬 (𝟓𝟎𝟎𝟎𝝅𝒕)
Para que 𝐗(𝐭) se ha periódica debe cumplirse que 𝐗(𝐭) = 𝑿(𝒕 + 𝑻)
Por lo tanto evaluamos
𝟐

𝑿(𝒕 + 𝑻) = 𝟖 𝐬𝐢𝐧 (𝟐𝟎𝟎𝟎𝝅𝒕 + 𝟐𝟎𝟎𝟎𝝅𝑻) + 𝟒 𝐜𝐨𝐬 (𝟓𝟎𝟎𝟎𝝅𝒕 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝝅𝑻)
Usando la identidad
(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽)
𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽 =
𝟐
𝑿(𝒕 + 𝑻) = 𝟒(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝟎𝟎𝟎𝝅𝒕 + 𝟒𝟎𝟎𝟎𝝅𝑻)) + 𝟒 𝐜𝐨𝐬 (𝟓𝟎𝟎𝟎𝝅𝒕 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝝅𝑻)
Teniendo en cuenta que:
𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 (𝜽 + 𝟐𝒏𝟐 𝝅) ; →...