Taller señales y sistemas
EJERCICIOS DE SEÑALES Y SISTEMAS
NOMBRE: Luis Gabriel Tutachá C
PARTE 1
Ejercicio 9.22 Determine la función del tiempo, X(t), para cada una de las siguientes transformadas de Laplace y sus regiones de convergencia asociadas.
a) 1s2+9 Re{s}>0
Teniendo en cuenta que: sinwtut WS2+ W2 Re{s}>0
Entonces:
13sen3tu(t)13(3s2+ 32) Re {s}>0.
x(t)= 13sen3tu(t)
b) ss2+9 Re{s}<0
Teniendo en cuenta que: coswtut sS2+ W2 Re{s}>0
Usando la propiedad de escala en el tiempo tenemos que _
Entonces:
cos3tu(-t) -(ss2+ 32) Re {s}<0.
x(t)=-cos3tu(-t)
c) s+1(s+1)2+9 Re{s}<-1
Por propiedad de corrimiento tenemos:
et*coswtut s+1(S+1)2+ W2 Re{s}>1
Usandola propiedad de escala en el tiempo tenemos que _
Entonces:
e-tcos3tu(-t) -(s+1(s+1)2+ 32) Re {s}<-1.
x(t)=-e-tcos3tu(-t)
d) s+2s2+7s+12 -3<Re{s}<-4
Usando la expansión por fracciones parciales, tenemos:
s+2s2+7s+12= s+2 (s+4)(s+3)= As+4+bs+3
Si s=-4; A=-4+2 (-4+3)=2 y Si s=-3; B=-3+2 (-3+4)= -1
X(s)= 2s+4-1s+3 , al tener ROC podemos calcularla transformada de Laplace:
x(t)= 2e-4tut+ e-3tu(-t)
e) s+1s2+5s+6 -3<Re{s}<-2
Usando la expansión por fracciones parciales, tenemos:
s+1s2+5s+6= s+1 (s+3)(s+2)= As+3+bs+2
Si s=-3; A=-3+1 (-3+2)=2 y Si s=-2; B=-2+1 (-2+3)= -1
X(s)= 2s+3-1s+2 , al tener ROC podemos calcular la transformada de Laplace:
x(t)= 2e-3tut+ e-2tu(-t)
f) (s+1)2s2-s+1Re{s}>1/2
Podemos rescribir X(s) como:
X(s)= s2+2s+ 12s2-s+1 = s2+2s+ 12-3s+3ss2-s+1= s2-s+ 12s2-s+1+3ss2-s+1 = 1+3ss2-s+1
Llevando el segundo término a una mejor expresión tenemos:
Teniendo en cuenta que se necesita que la región de s es mayor que ½ entonces:
X(s)=1+3ss2-s+14 +34=1+3ss-122+34=1+3s-32+32s-122+34=1+3(s-12)s-122+322+332s-122+322
Podemos observar que el segundoy tercer término son coseno y seno respectivamente en transformada inversa de Laplace.
x(t)= δ(t) + 3e-t2cos32tu(t) + 3e-t2sin32tu(t)
g) s2-s+1(s+1)2 Re{s}>-1
Podemos rescribir X(s) como:
X(s)= s2+2s+1s2+2s+1-3ss+12=1-3ss+12
Nosotros sabemos que:
t*u(t) 1s2, Re{s}>0;
Entonces teniendo en cuenta esta propiedad y la del corrimiento en el tiempo decimos que:e-tt*u(t) 1(s+1)2, Re{s}>-1;
Usando la propiedad de la diferenciación:
ddt[e-tt*u(t)]= e-tu(t)- te-tu(t) s(s+1)2, Re{s}>-1;
Por lo tanto:
x(t)= δ(t) -3e-tu(t) - 3te-tu(t)
Ejercicio 9.33. La función del sistema de un sistema LTI causal es:
H(s)= s+1s2+2s+1
Determine y trace la respuesta y(t) cuando la entradaes:
x(t)= e-|t|, - < t <
Puesto que x(t)= e-|t|=e-tu(t)+etu(-t)
X(s)= 1s+1-1s-1 =s-1-s -1s+1(s-1)=-2s+1(s-1), -1<Re{s}<1
Tenemos también que:
H(s)= s+1s2+2s+2, los polos de H(s) son: s=-2±4-422 = -1±-44= -1±i
y puesto que h(t) es causal podemos concluir que ROC de H(s) es:Re{s}>-1.
Ahora
Y(s)=X(s).H(s)= (-2s+1s-1)(s+1s2+2s+2)= -2s-1(s2+2s+2)
El ROC de Y(s) es la intersección del ROC de X(s) y el ROC de H(s) luego.
-1<Res<1
Ahora podemos obtener la siguiente expansión por medio de fracciones parciales para Y(s):
Y(s)=-2s-1(s2+2s+2)= As-1+BS+Cs2+2s+2
=As2+2s+2+s+1BS+C=-2
=As2+2As+2A+BS2-BS+SC-C=-2
=(A+B)s2+(2A-B+C)s+2A-C=-2, luego:A+B=0; 2A-B+C=0; 2A-C=-2
Tenemos tres incógnitas con tres ecuaciones y solucionamos el sistema:
A=-25; B=25; C=65
Y(s)=-2/5 s-1+(2/5)S+6/5s2+2s+2= -2/5 s-1+25S+ 65 - 45+ 45s2+2s+2-1+1= -2/5 s-1+25(S+ 1)+ 45s+12+1=-2/5 s-1+25(S+ 1)s+12+1+ 45s+12+1
Observando que el ROC de Y(s) es:
-1<Res<1
Usando tablas de Laplace tenemos que:
y(t)= 25etu-t+25e-tcostut+45e-tsintut....
Regístrate para leer el documento completo.