Taller

Taller No 3 de C´lculo Integral a Universidad Nacional de Colombia Sede Medell´ ın Semestre 01 - 2013

1. Encuentre las siguientes antiderivadas seg´n el cambio sugerido u a) c)cos3 x, sen x dx , u = cos x sec2 (1/ξ) dξ , x = 1/ξ ξ2 b) d) dt , u = 1 − 6t (1 − 6 t)4 √ √ cos x √ dx , u = x x

2. Encuentre la siguientes antiderivadas a) d) cos x dx sen 2x z2 dz z3 + 1 b) e) (3x − 2) dx sec2 y dy 1 − tan2 y
20

c) f)

ξ 2 e ξ + (ln ξ)2 dξ ξ 1+x dx 1 + x2

2

3. Eval´e las siguientes integrales definidas u
π/2

a)
0 1cos x sen (sen x) dx ez + 1 dz ez + z
9

c)
0

1 √ dx x ln x T /2 2πt d) sen −α T 0 b)
3

dt

4. Si f es continua y
0

f (x) dx = 4, demuestre
0

xf (x2 ) dx = 2b

5. Sean a, b, c ∈ R y f : R → R ¿Se puede garantizar la igualdad a f (x + b+c c) dx = a+c f (x) dx? √ 6. Considere f (x) = sen 3 x. (i) Demuestre que f es impar. √ 3 (ii)Concluya que 0 ≤ −2 sen 3 x dx ≤ 1. 7. Utilice integraci´n por partes para encontrar las siguientes antiderivadas o

1

y eval´e cuando se trate de integrales definidas. u a) d)g)
0

x cos(5x) dx ln
t

b) e)
1

p 5 ln p dp
2

c) f)
1

sen −1 ξ dξ
√ 3

√ 3

z dz

(ln y) dy
9

2

arctan

1 x

dx

es sen (t − s) ds

h)
4ln y √ dy y

i)

e−θ cos(2θ) dθ

8. Combine los m´todos de integraci´n por partes y sustituci´n para encone o o trar las siguientes antiderivadas
√

a)

e

x

dxb)

√ arctan x dx

9. Sin encontrar la antiderivada, eval´e las siguientes integrales u
π/2 1 1

a)
−π/2

x7 cos x dx b)
−1

|sen −1 x| dx, sabiendo que
0

sen −1x dx =

π −1 2

10. Aplique integraci´n por partes para demostrar o a) n−1 1 cosn−1 x sen x + cosn−2 dx n n π/2 π/2 n−1 sen n x dx = b) sen n−2 x dx n 0 0 cosn x dx =

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