TALLER

UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO
FACULTAD DE INGENIERÍA
Cálculo Integral
TALLER. Unidad 1: La Integral De…nida
Docente: Carlos Andrés Trujillo Salazar
1. Use notación sigma para expresar la suma.
a.

1
3(1)

h
b. 1

1
8

c. 2
d.

h

+

1
3(2)

+

1 2
3

i

2
n

h
e. 2 1 +
f.

+

h
+ 1

q
2
1

i

3 2
n

2
n

i

3
n

0 2
n

+
1 3
9

2
8

+3 + 2

2 3
n

1
n

1
3(3)

+
+
+

i

1
3(9)

h
+ 1

1 4
27

+3 +
+h

h
+ 2 1+
+

1
n

q
2

1

2n
n

+

8
8

+ 2

2n 3
n

i

i

3n 2
n

+3
2
n

i

3
n

n 1 2
n

2. Use las propiedades y fórmulas de la notación sigma para calcular el valor de la sumatoria.

a.

7
X

b.

(8)

e.

(2i

2

3i + 1)

f.

i=1

i.

3

c.

(j ) (3)

j=1

k=1

5
X

4
X

100
X
1
k
k=1

15
X

i (i

j.

n
X

(2j

3)

d.

j=4

2

1)

g.

i=1

1
k+1

10
X

k.

1)

20
X

i=1

n
X
i=1

(i

1)2 (i+ 1)

i=1

2

(i + 3)

h.

i=1

(2i

4
X

4i2 (i

n
X

2k

2k

1

k=1

2)

l.

n
X

(i + 2) (3i

5)

i=1

3. Halle una fórmula para la suma de n términos. Con esa fórmula, calcule el límite cuando
n ! 1.
n
n
n
P
P
P
1
16i
R/ 8
b. l m
1 + ni n2
R/ 3
c. l m
(i 1)2 R/ 13
a. l m
n2
n3
n!1 i=1

n!1 i=1

n!1 i=1

4. Usando la de…nición, halle el área de la región limitada por la grá…ca de f (x) = x3 ,el
eje x y las rectas x = 1 y x = 4.
R/ 255
4
5. Usando la de…nición, halle el área de la región limitada por la grá…ca de f (x) = 1
el eje x y las rectas x = 1 y x = 1.
R/ 43
1

x2 ,

6. Usando la de…nición, halle el área de la región más pequeña limitada por la grá…ca de
f (x) = 4 x2 , el eje x y la recta x = 1.
R/ 53
7. Usando la de…nición, halle el área de la región limitada por la grá…ca de
f(x) = x2 2x + 3, el eje x y las rectas x = 1 y x = 2.
R/ 9
8. Usando la de…nición, halle el área de la región limitada por la grá…ca de f (x) = x2 x3 ,
el eje x y las rectas x = 1 y x = 1. Elabore la grá…ca.
R/ 23
9. Evalue la integral inde…nida y veri…que el resultado por derivación
a.

e.

i.

Z

u.

x x

Z

Z

m.

q.

1
p

y

6t

Z

Z

Z

2p

2

b.

dx

ydy

p
3

tdt

3 1
27tp
dt
3
t

x4 8xdx
2x2 4x

1
p
dx
3
x

f.

j.

n.

r.

v.

Z

Z

Z

Z

Z

Z

p
(

2

x+

1
p

+ sec

2

c.

dx

2 x

x + 2x
cos 2
cos +sin

Z

k.

4 cos2
cos

3
2

Z

g.

)d

y 4 +2y 2 1
p
dy
y

3 tan

Z

o.

d
2
3

s.

dx

Z

w.

d

Z

Z

(x + 1) (3x

sec (tan

3

1
x4

2

(2 cot

+

sec ) d
1
x2

2

3 tan

(tan + cot ) d

(cos

cos 4) d

d.

h.

l.

dx

2

3)2 y f (0) =

10. Determine la función f si f 0 (x) =(2x

2) dx

)d

p.

t.

x.

Z

Z

Z

Z

Z

Z

x2 +x+1
p
dx
x

sin
1 sin2

cos
sin2

d

1
d
cos +1

1
1+sin

sin

4

11. Dado que la grá…ca de una función f pasa por el punto (1; 6) y que la pendiente de su
recta tangente en el punto (x; f (x)) es 2x + 1, encuentre f (2)
R/ 10
12. El punto (3; 2) está en una curva, y en cualquier punto (x; y) de la curva la recta
tangente tiene pendiente igual a 2x3. Determine una ecuación de la curva.
R/ y = x2

3x + 2

13. Los puntos ( 1; 3) y (0; 2) están en una curva, y en cualquier punto (x; y) de la curva
d2 y
= 2 4x. Determine una ecuación de la curva.
dx2
2

0

d y
dy
0
SUGERENCIA: Considere dx
2 = dx , y obtenga una ecuación que contenga a y , x y una
constante arbitraria C1 . A partir de esta ecuación determine otra ecuación que involucre
2 3 2 2
ay, x, C1 y C2 . Calcule C1 y C2 a partir de las condiciones. R/ y =
x +x + x+2
3
3
2

d y
14. En cualquier punto (x; y) de una curva, dx
x2 , y una ecuación de la recta
2 = 1
tangente a la curva en el punto (1; 1) es y = 2 x. Determine una ecuación de la curva.
4
2
5
(Tenga en cuenta la sugerencia del ejercicio anterior)
R/ y = x12 + x2
x + 94
3

2

d

d

+

4

d

15. Se sabe de una función quesu derivada de segundo orden esta dada por f 00 (x) = 6x 4.
Además, la recta que tiene por ecuación y = 7x 36 es tangente a la grá…ca de la
función en el punto (3; 15). Determine la función.
R/ f (x) = x3 2x2 8x
16. Se sabe de una función que su derivada de segundo orden esta dada por f 00 (x) = 1 x2 .
Además, la recta que tiene por ecuación y = 2 x es tangente a la grá…ca de la función
4
2
5
en...