taller

UNIVERSIDAD CENTRAL
Facultad de Ingenieria
Departamento de Matem´
aticas
C´
alculo Vectorial: Segundo parcial
Profesora: Ingrid Ojeda.
2 de octubre de 2015
Nombre:

Calificaci´
on:

1. Muestre pormedio de un ejemplo que
l´ımx→a f (x) + g(x) puede existir aunque no
existan ni l´ımx→a f (x) ni l´ımx→a f (x).
2. Encuentre los siguientes l´ımites.
x2 − 4x
x→4 x2 − 3x − 4
√
6−x−2
l´ım √
x→2
3−x−1

(2+ h)3 − 8
h→0
h
2x + 12
l´ım
x→−6 |x + 6|
√
x2 + 9 − 5
l´ım
x→−4
x+4

l´ım

l´ım

1
1
l´ım √
−
x→0 t 1 + t
t
l´ım sen(x+senx)

x→π

l´ım arctan

x→2

x2 − 4 − 5
3x2 − 6x

6. Un monje tibetano saledel monasterio a las 7:00
A.M. y emprende su camino habitual hacia la cima de la monta˜
na, a donde llega a las 7:00 P.M.
La ma˜
nana siguiente inicia el regreso desde la cima
por la misma ruta a las7:00 A.M. y llega al monasterio a las 7:00 P.M. Mediante el teorema del valor
intermedio demuestre que existe un punto a lo largo de la ruta que el monje cruzar´a exactamente a
la misma hora en ambosd´ıas.
7. Compruebe que si f es una funci´on continua sobre
un intervalo, entonces tambi´en lo es |f |. ¿Lo inverso
de la proposici´on anterior, tambi´en es verdadero?
En otras palabras, ¿si |f | escontinua se deduce que
f es continua? De ser as´ı, compru´ebelo. En caso de
no ser as´ı, halle un ejemplo contrario.

3. Encuentre un n´
umero a tal que
2

3x + ax + a + 3
x→2
x2 + x − 2
l´ım

8. Determinelos siguientes l´ımites en caso de que
existan.
x + sen2 (2x)
tan3x
l´ım
x→0 x + sen2 (3x)
x→0
x
senx − sena
sen2x + sen3x
l´ım
l´ım
x→a
x→0 sen4x + sen5x
x−a
l´ım

existe.
4. Muestre que la funci´onf (x) = [x] + [−x] no es
continua en x = 2, sin embargo l´ımx→2 f (x) existe.
Donde [x] es la parte entera.

tan3x
x→0
x
l´ım

5. Aplique el teorema del valor intermedio, para mostrar que existe unara´ız de la ecuaci´on dada en el
intervalo dado.
3

l´ımπ

x→ 2

senx − sena
l´ım
x→a
x−a

2

x − x − 2x = 0 en el intervalo (1, 2).
cosx = x en el intervalo (0, 1).

1 de 1

senx − 1
cos2x + 1...