Taller1 2015 II def

Universidad Nacional de Colombia- Sede Medell´ın, Escuela de Matem´
aticas
Ecuaciones Diferenciales (1000007), Taller 1 .
Semestre 02-2015, 10–15 de Agosto de 2015

1. Determine el orden de laecuaci´on diferencial dada. Adem´as indique si la ecuaci´on
diferencial es lineal o no lineal.
(a) (1 − x2 ) y − x sin xy + 8y = cos x.
(b) x
(c)

d5 y
−
dx5

d3 y
=
dt3

dy
dx
1+

7

+ 5y = 0.
dy
dt

4

.d3 y
dy
(d)
+ x + x = cos (x + y) .
3
dx
dx
dy
− 7 (y − 2) = ln t.
(e)
dt
(f) (1 − y)

d3 y
dy
+ ln (y + 3)
= tan y.
3
dt
dt

2. Determine una regi´on del plano xy para la cual la ecuaci´ondiferencial dada tiene una
u
´nica soluci´on que pasa por el punto (x0 , y0 ) dentro de la regi´on.
dy
2
= y3.
dx
dy √
(b)
= xy.
dx
(c) (4 − y 2 ) y = x2 .
(a)

(d) (y − x) y = y + x.
3. Verifique que y = c1cos t + c2 sen t representa una familia de soluciones de la ecuaci´on
diferencial de segundo orden y + y = 0. Encuentre una soluci´on del problema de valor
inicial de segundo orden que incluya est´aecuaci´on diferencial y las condiciones iniciales
dadas.
(a) y (0) = −1, y (0) = 2.
π
π
= 0, y
= 1.
(b) y
2
2
√
√
π
π
(c) y
= 2, y
= 2 2.
4
4
(d) y (0) = 0, y (0) = 0.
4. Encuentre una funci´on y = f (x)cuya gr´afica en cada punto (x, y) tiene una pendiente
dada por 8e2x + 6x y la intersecci´on con el eje y en (0, 9) .
5. Determine un posible valor para x0 para que la gr´afica de la soluci´on delproblema con
valores iniciales y + 2y = 3x − 6, y (x0 ) = 0 es tangente al eje x en (x0 , 0) .

6. Compruebe que la familia de funciones P (t) =

cet
, c ∈ R, es una soluci´on de la
1 + cet

dP (t)
= P(t) (1 − P (t)) .
dt
¿Cualquier curva soluci´on pasa por el punto (0, 3)?
¿Y por el punto (0, 1)?

ecuaci´on diferencial

7. Las funciones

y (x) =

1 4
x,
16

−∞ < x < ∞

son soluciones del problemade valor inicial
(−∞, ∞)

y


0,
x < 0,
y (x) =
1 4
 x , x ≥ 0,
16

dy
= xy 1/2 ,
dx

y (2) = 1 en el intervalo

¿Qu´e puede concluir de lo anterior?
¿Hay alguna contradici´on con el TEU?
8....