Taller1 ecuaciones


Facultad de Ingeniería y Ciencias
Ecuaciones Diferenciales
Viña del Mar


Taller n°1
Método de Runge-Kutta de orden 4 para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales.



Profesor: Miguel Olivares
Sección: 1
Fecha: 09/04/2014
Integrantes:
Rafael Alcarraz
Mauricio Fernández
Valeria Fuentealba
Ignacio Gutierrez
Roberto Rodriguez
Santiago Urbina
Índice de contenidos

Resumen 1
Introducción2
Desarrollo 3
Trabajo 3
Problemas 4
1. . 4
a) . 4
b) . 5
2. . 6
a) . 6
b) . 7
3. . 7
a) . 8
b) . 9
Conclusión 10
Bibliografía 11
Anexo 12





Índice de Tablas y Figuras.

Gráfico 1. Mapa de direcciones pregunta 1. 4
Gráfico 2. Curva solución pregunta 1.a). 5
Gráfico 3. Curva solución pregunta 1.b). 5
Gráfico 4. Mapa de direcciones pregunta 2. 6
Gráfico 5. Curva solución pregunta 2.a). 6
Gráfico6. Curva solución pregunta 2.b). 7
Gráfico 7. Mapa de direcciones pregunta 3. 8
Gráfico 8. Curva solución pregunta 3.a). 8
Gráfico 9. Curva solución pregunta 3.b). 9






Resumen

Los contenidos tratados en este taller tienen relación con algunas aplicaciones u algoritmos utilizados para la resolución de ecuaciones diferenciales, específicamente, el método de Runge-Kutta de orden 4. Para larealización de los ejercicios se utilizó el software matemático Maple junto a un paquete de algoritmos. Se representó gráficamente una curva solución para distintos ejercicios donde se resuelven ecuaciones diferenciales ordinarias y, además, se representa gráficamente el mapa de direcciones de las soluciones de la ecuación.

Introducción

Una ecuación diferencial ordinaria involucra una función deuna variable independiente, esa variable y las derivadas de la función respecto de ella. Estas ecuaciones aparecen en campos tan variados como la ingeniería, la física, química, economía, ciencias sociales, etc.
Se crearon junto con el desarrollo del cálculo infinitesimal de Newton y Leibnitz. Usualmente, aparecían en demostraciones matemáticas de las leyes de Newton. Más adelante, ecuaciones deeste tipo aparecieron en el problema de la catenaria y en el problema de la propagación del calor (ecuaciones en derivadas parciales).
No siempre estas ecuaciones tienen soluciones conocidas o analíticas. Usualmente, su resolución analítica demanda tantos recursos computacionales que es mucho más conveniente obtener soluciones aproximadas mediante métodos numéricos. Algunos de estos algoritmos sonbastante eficientes y pueden aplicarse en sistemas computacionales con efectividad, por ejemplo, el método de Runge-Kutta.
Las soluciones de una ecuación diferencial se resumen en un mapa de curvas solución, donde la curva buscada depende del punto de partida que se use. Se puede representar este conjunto de curvas solución en un gráfico llamado mapa de direcciones, el cual se asemeja a un campovectorial de dos dimensiones.
Desarrollo
Trabajo
Investigue y describa brevemente de qué trata el Método de Runge-Kutta de orden 4.
Este método es parte de una familia de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales, los cuales buscan encontrar aproximaciones numéricas a los valores de la curva solución de una ecuación diferencial ordinaria en un punto dado.
Que sea de orden 4significa que el error total acumulado es de orden O(4). La idea matemática detrás del método reside en que la recta tangente a una curva se parece mucho a una curva para intervalos cortos, de este modo, se puede aproximar el valor de una función mediante aproximaciones usando su derivada (justamente la derivada que aparece en la ecuación diferencial). En este método, se utiliza una pendienteponderada de 4 pendientes.
La fórmula de recursión es la siguiente:

Donde los son:



Problemas
Para las siguientes ecuaciones se le pide que grafique el campo de direcciones y luego, aplicando el Método de Runge-Kutta, obtenga y grafique alguna curva solución dada una condición inicial.
1. .
El campo de direcciones de la ecuación diferencial es el siguiente:

Gráfico 1. Mapa de direcciones...