taller1 mate4

Matemáticas IV

Taller 5.

1. Un modelo para la propagación de una enfermedad en una población, un modelo
epidemiológico, está dado por el sistema
dS
= −aSI
dt
dI
= aSI − bI
dt
donde a y b sonconstantes positivas. S(t) representa la población susceptible,
I(t) la población infectada después de t días; la constante a es la medida de que
tan rápido se difunde la enfermedad de una personacontagiada a la población
susceptible y b representa la rapidez con la que las personas enfermas se curan
(son eliminadas de I(t) y resultan inmunes).
Halle una curva en las variables S, I que sea solución delmodelo.
Si a = 0.003 y b = 0.5, ¿Qué curva corresponde a la condición inicial una persona
infectada y 700 suceptibles? Muestre que en el momento más álgido hay enfermas
aproximadamente 167 personas.2. Solucionar el sistema X = AX donde la matriz A es
i.
A=

1 1
4 −2

La figura 1 muestra el diagrama de fase del sistema. Diagonalizar la matriz
del sistema.

Figura 1 Plano Fase

1

Matemáticas IVTaller 5.

ii.
A=

2 5
−2 0

La figura 2 muestra el diagrama de fase del sistema.

Figura 2 Plano Fase
iii.
A=

5 −4
1 1

La figura 3 muestra el diagrama de fase del sistema.

Figura 3 Plano Faseiv.



0.1 −1
0
A =  1 0.1
0 
0
0 −0.2
La figura 4 muestra el diagrama de fase del sistema.

2

Matemáticas IV

Taller 5.

Figura 4 Plano Fase
v.



−1 2
0
A =  2 −4 0 
0
0 −1
3. Una sustancia xse transforma en una sustancia y con una rapidez k1 > 0. La
sustancia y a su vez se degrada en otra sustancia con una rapidez k2 > 0. El
sistema
dx
= −k1 x
dt
dy
= k1 x − k2 y
dt
modela el sistema.Hallar los valores propios y los vectores propios del sistema
y analizar su comportamiento.
4. Dos cantidades de una solución química están separadas por una membrana. Si
x(t) y y(t) representan lascantidades de químico en el tiempo t en cada lado de
la membrana y si V1 y V2 representan los volúmenes constantes de cada solución;
el problema de difusión se puede modelar mediante el sistema:

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