Taller1 Solucion

UNIVERSIDAD DE LA SALLE
PROGRAMA DE INGENIERIA AMBIENTAL
DESTINO Y TRANSPORTE DE CONTAMINANTES
PRIMER SEMESTRE DE 2015
TALLER 1
2. Calcular las siguientes derivadas e integrales:
1

i. f(x) = ln(𝑥) ; f´(x) = x

ii. f(x)=Sen(x) ; 𝑓´ = 𝐶𝑜𝑠(𝑥)
iii. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝐶𝑜𝑠(𝑥); 𝑓´ = 2𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 𝑥 2 𝑆𝑒𝑛(𝑥)
iv. 𝑓(𝑥) =

𝑆𝑒𝑛(𝑥)
;
𝑥
2

𝑓´(𝑥) =

𝑥 cos(𝑥)−𝑆𝑒𝑛(𝑥)
𝑋2

v. 𝑓(𝑥) = 10𝑥 + 2𝑥 + 3; 𝑓´(𝑥) = 20𝑥 + 2
1
𝑑𝑥
−
2 𝑑𝑥=
𝑥
∫
√𝑥
𝑥
∫ 𝑥 2 +3 𝑑𝑥

vi. ∫
vii.

1

𝑥2

= 1/2+ C = 2𝑥 1/2 + 𝐶 = 2√𝑥 + 𝐶

Sustituyendo: 𝑢 = 𝑥 2 + 3 , 𝑑𝑢 = 2𝑥. 𝑑𝑥, entonces,

𝑑𝑢
2

= 𝑥. 𝑑𝑥

Reemplazando en la integral principal se obtiene:
∫

𝑑𝑢
2𝑈

La solución a esta integral:
∫

𝑑𝑢 1
= ln(𝑢)
2𝑈 2

Sustituyendo a la función, u, se obtiene:
1
ln(𝑥 2
2

+ 3)+C

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, siendo u, k y D constantes:
i.𝑢

𝑑𝐶
= −𝑘𝐶
𝑑𝑥

Esta ecuación diferencial se resuelve por el método de variables separables, entonces:
𝑑𝐶
𝑘
= − 𝑑𝑥
𝐶
𝑢
Integrando se obtiene:

∫

𝑑𝐶
𝑘
= ∫ − 𝑑𝑥
𝐶
𝑢

𝑘
𝑙𝑛(𝐶) = − 𝑥
𝑢
Aplicando la función exponencial:
𝐶 = 𝑒 (−𝐾/𝑢)𝑥
ii.
𝐷

𝑑2 𝐶
− 𝐾𝐶 = 0
𝑑𝑥 2

Dividimos la ecuación por D:
𝑑2 𝐶 𝐾𝐶
−
=0
𝑑𝑥 2
𝐷
Se hace la siguiente sustitución:
𝛼=

𝑑𝐶
𝑑𝑥

Entonces la ecuación principal se escribiría como:𝛼2 −

𝐾
=0
𝐷

Según esto se obtendría dos soluciones para 𝛼:
𝑘
𝑘
𝛼1 = √
𝑦 𝛼2 = −√
𝐷
𝐷
Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene solución de la forma:
𝐶 = 𝑀1 𝑒 𝛼1 𝑥 + 𝑀2 𝑒 𝛼2 𝑥
Entonces sustituyendo los valores de 𝛼 en cada uno de los casos se obtiene:
𝐶 = 𝑀1 𝑒

√𝑘 𝑥
𝐷

+ 𝑀2 𝑒

𝑘
−√ 𝑥
𝐷

4. Demostrar paso a paso la deducción de la siguiente ecuación:

Partiendo de la Ley de los gases ideales

𝑚

𝑃𝑉= 𝑛𝑅𝑇 = 𝑃𝑀 𝑅𝑇

𝑃 ∗ 𝑃𝑀
𝑚
=[ ]=𝜌
𝑅∗𝑇
𝑣

( Ecuación 1)

Teniendo en cuenta que:
𝑝𝑝𝑚 =

1 𝑚3 𝑐𝑜𝑛𝑡.
103 𝐿 106 µ𝑔
∗
𝜌
∗
∗
( Ecuación 2)
106 𝑚3 𝑎𝑖𝑟𝑒
1 𝑚3
𝑔

Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2

𝑔
1 𝑚3 𝑐𝑜𝑛𝑡. 𝑃(𝑎𝑡𝑚) ∗ 𝑃𝑀 (𝑚𝑜𝑙 ) 103 𝐿 106 µ𝑔
𝑝𝑝𝑚 = 6 3
∗
∗
∗
10 𝑚 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑅 ( 𝐿 ∗ 𝑎𝑡𝑚 ) ∗ 𝑇(𝑘) 1 𝑚3
𝑔
𝑔𝑚𝑜𝑙 ∗ 𝑘
Obtenemos
µ𝑔
𝑃 ∗ 𝑃𝑀
𝐶 ( 3 ) = 𝐶(𝑝𝑝𝑚) ∗
∗ 10 3
𝑚
𝑅∗𝑇
5. Calcular la concentración (en g/m3 y ppb)de NO2 en los gases de salida de una chimenea
de una caldera a 750°C y 1 atm. La velocidad de salida de los gases es de 10 m/s y el área
transversal al flujo es de 10 m2. Para estimar la tasa de emisión de NO2 se sabe que la
caldera consume 15 ton/año de carbón, consulte los factores de emisión del documento
AP-42 de la EPA (capitulo 1) para carbón bituminoso, asuma NO2 como NOx.
Según la EPA, elfactor de emisión para carbón bituminoso es de22 lb/Ton.
Con este valor podemos determinar la tasa de emisión de NO2:
22 𝑙𝑏𝑁𝑂𝑥 15𝑇𝑜𝑛𝐶𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛 330𝑙𝑏𝑁𝑂2
∗
=
𝑇𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛
𝑎ñ𝑜
𝑎ñ𝑜

330𝑙𝑏𝑁𝑂2 453,59𝑔 106 µ𝑔 1 𝑎ñ𝑜
1 𝑑𝑖𝑎
4746.47µ𝑔𝑁𝑂2
∗
∗
∗
=
=𝑀
𝑎ñ𝑜
1 𝑙𝑏
1 𝑔 365 𝑑𝑖𝑎𝑠 86400𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
Se sabe que el flujo masico (M) se puede expresar como el producto entre la concentración (C ) y el
caudal (Q), en este caso elcaudal de salida de los gases:
𝑀 =C*Q
El caudal de salida puede determinarse como el producto entre el área y la velocidad:

𝑄 = 𝐴 ∗ 𝑉 = 10𝑚2 ∗

10𝑚
𝑚3
= 100
𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔

Ahora despejando la concentración se obtiene:
𝑀
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = =
𝑄

4746.47µ𝑔𝑁𝑂2
𝑠𝑒𝑔
= 47.46µ𝑔𝑁𝑂2/ 𝑚3
𝑚3
100 𝑠𝑒𝑔

Ahora para convertir esta concentración a PPB podemos utilizar la siguiente expresión:

Despejando la concentración enPPB se obtiene:
𝐶[

𝐶[𝑃𝑃𝐵] =

𝐶[

µ𝑔
]∗𝑅∗𝑇
𝑚3
= 𝐶[𝑝𝑝𝑏]
𝑃𝑀 ∗ 𝑃

µ𝑔
µ𝑔𝑁𝑂2 0.082𝑎𝑡𝑚𝐿
∗
∗ 1023.15𝐾)
] ∗ 𝑅 ∗ 𝑇 (47.46
3
𝑚𝑜𝑙 ∗ 𝐾
𝑚
𝑚3
=
= 86.5 𝑝𝑝𝑏
46𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑃𝑀 ∗ 𝑃
∗ 1𝑎𝑡𝑚
𝑚𝑜𝑙

6. En condiciones anaerobias, Fe+3, NO3- y SO42- son usados como aceptores de electrones en
la degradación anaeróbica del tolueno. Cual reacción es termodinámica más favorable en
la degradación del tolueno (C7H8), es decir, cualtiene un menor valor de G? plantear las
ecuaciones de óxido reducción y balancearlas.

Par redox
CO2/C7H8
Fe+3/Fe+2
NO3-/N2
SO42-/H2S

E⁰ (V) a pH=0
-0.40
+0.76
+0.74
-0.22

E° (V)
𝐶7 𝐻8 + 14𝐻2 𝑂 → 7𝐶𝑂2 + 36𝐻 + + 36𝑒 −
36 (𝐹𝑒 +3 + 1𝑒 − → 𝐹𝑒 +2 )

0,4
0,76

𝐶7 𝐻8 + 14𝐻2 𝑂 + 36𝐹𝑒 +3 → 7𝐶𝑂2 + 36𝐻 + + 36𝐹𝑒 +2

1,16

96,5𝐾𝐽
𝐾𝐽
∆𝐺 = −𝑛𝐹∆𝐸𝑂 = −36 (
) (1,16) = −4029,84
𝑚𝑜𝑙
𝑚𝑜𝑙
∆𝐺 < 0 ⇒ 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛...