Taller4

TALLER 4: Regla de la cadena, derivadas direccionales y vector gradiente
C´
alculo en varias variables
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medell´ın
Escuela de matem´
aticas
1. Use la regla de la cadena para calcular

√
dw
x y
, donde w = + , x = t, y = cos(2t) y z = e−3t .
dt
y
z

Soluci´on.
wt = wx xt + wy yt + wz zt
wx =

1
y

, wy = − yx2 +

1
z

, wz = − zy2 , xt =

dw
=
dt

1
y

1
√

2t

1
√
2 t

, yt = −2 sin 2t , zt = −3e−3t

+ −

x
1
+
2
y
z

(−2 sin 2t) + −

y
z2

−3e−3t

2. Sea w(s, t) = f (u(s, t), v(s, t)) donde u(1, 0) = 2, us (1, 0) = −2, ut (1, 0) = 6, v(1, 0) = 3, vs (1, 0) = 5,
vt (1, 0) = 4, fu (2, 3) = −1 y fv (2, 3) = 10. Encuentre ws (1, 0) y wt (1, 0).
Soluci´on.
fv (u(1, 0), v(1, 0)) = fv (2, 3) = 10 fu (u(1, 0), v(1, 0)) = fu (2, 3) = −1

ws (1, 0) = fu us +fv vs |

s=1
t=0

= fu (2, 3)us (1, 0) + fv (2, 3)vs (1, 0)
= (−1)(−2) + (10)(5)
= 52
Similarmente:
wt (1, 0) = fu ut + fv vt |

s=1
t=0

= (−1)(6) + (10)(40)
= 34
x
∂z ∂z ∂z
, x = rest , y = rset . Emplee la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales
, ,
y
∂r ∂s ∂t
cuando r = 1, s = 2 y t = 0.

3. Sean z =

Soluci´on.
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
= zx xr + zy yr
∂r
∂x ∂r
∂y ∂r
∂z
= zx xs + zyys
∂s
∂z
= zx xt + zy yt
∂t

zx =

1
x
, zy = − 2
y
y

xs = rest t , xs (1, 2, 0) = (1)e(2)(0) (0) = 0
ys = ret , ys (1, 2, 0) = (1)e0 = 1
xr = est , xr (1, 2, 0) = e0 = 1
yr = set , yr (1, 2, 0) = (2)e0 = 2
xt = rest s , xt (1, 2, 0) = (2)e0 (2) = 4
yt = rset , yt (1, 2, 0) = (1)(2)e0 = 2
x(1, 2, 0) = (1)e(2)(0) = 1 , y(1, 2, 0) = (1)(2)e0 = 2
1
∂z
1
= (1) + − 2
∂r
2
2
∂z ∂z
de igual forma
,
∂s∂t
Luego sustituyendo

(2) = 0

4. Sea T (x, y) la temperatura en el punto (x, y), medida en grados Celsius. Un gusano se arrastra de tal forma
que, su posici´on (x, y) en cierto tiempo t (medido en segundos), viene dada por las ecuaciones param´etricas
√
1
x = 1 + t, y = 2 + t, donde x y y son medidas en cent´ımetros. La funci´on de la temperatura satisface
3
adem´as las condiciones Tx (2, 3) = 4 yTy (2, 3) = 3.¿Cu´an r´apido aumenta la temperatura en la senda del
gusano despu´es de 3 segundos?
Soluci´on.
Nos piden

dT
(3)
dt

dT
= Tx xt + Ty yt
dt
1
1
xt = (1 + t)− 2 ; xt (3) =
2
1
yt = 3 ; yt (3) = 31

1
4

x(3) = 2 ; y(3) = 3
Tt (2, 3) = 4 14 + 3 13 = 2
5. La producci´on de trigo en un a˜
no determinado W , depende de la temperatura promedio T y de la precipitaci´on pluvial anual R. Loscient´ıficos estiman que la temperatura promedio aumenta a raz´on de 0,15o C al
a˜
no y que la precipitaci´on pluvial disminuye a raz´on de 0,1cm al a˜
no. Tambi´en estiman que para los actuales
niveles de producci´on ∂W/∂T = −2 y ∂W/∂R = 8.
a) ¿Qu´e significan los signos de estas derivadas parciales?
b) Calcule la raz´on actual de cambio de la producci´on de trigo dW/dt.

2

6. Si z = f (x, y),donde x = r cos θ, y = r sin θ, demuestre que
∂z
∂x

2

2

∂z
∂y

+

2

∂z
∂r

=

+

1
r2

2

∂z
∂θ

7. Si z = f (x, y), donde x = s + t y y = s − t, demuestre que
2

∂z
∂x

2

∂z
∂y

−

∂z ∂z
.
∂s ∂t

=

Soluci´on.
∂z
∂z
∂z
= zx xs + zy ys , xs = 1 , xt = 1 , zs =
+
∂s
∂x ∂y
∂z
∂z
∂z
zt =
= zx xt + zy yt , ys = 1 , yt = −1 ; zt =
−
∂t
∂x ∂y
As´ı
zs =

∂z ∂z
=
∂s ∂t

∂z
∂z
+
∂x ∂y

∂z
∂z
−
∂x ∂y=

∂z
∂x

2

−

∂z
∂y

2

8. Sea f (x, y) un funci´on diferenciable tal que
4

∂f
∂x

2

+

2

∂f
∂y

= 0.

Suponga que x = u2 − v 2 y y = uv. Demostrar que
∂f
∂u

2

+

∂f
∂v

2

= 0.

−
9. Sean f (x, y, z) = xy + yz 2 + xz 3 , P = (2, 0, 3) y →
u = (−2/3, −1/3, 2/3).
a) Halle el vector gradiente de f .
b) Evalue el vector gradiente de f en el punto P .
−
c) Determine la tasa de cambio de f en Pen la direcci´on del vector →
u.
Soluci´on.
a) ∇f (x, y, z) = (fx , fy , fz ) = (y + z 3 , x + z 2 , 2yz + 3xz 2 ).
b) ∇f (2, 0, 3) = (0 + 33 , 2 + 32 , (2)(0)(3) + (3)(2)32 ) = (27, 11, 54)
−
c) →
u =

4
9

+

1
9

+

4
9

= 1 as´ı

→
−
2
1 2
→
D−
u f (2, 0, 3) = ∇f (2, 0, 3) · u = (27, 11, 54) · − 3 , − 3 , 3 =

43
3

10. Encuentre la derivada direccional de g(x, y, z) = z 3 − x2 y, en el...