Talleres de Matemáticas III

TALLER No 0
GENERALIDADES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
OBJETIVO ESPECÍFICO: Comprender el significado de una ecuación diferencial y de su solución
Solución de una ecuación diferencial, clases de ecuaciones diferenciales y planteamiento de
ecuaciones diferenciales a partir de algunos enunciados de problemas de aplicación.

EJERCICIOS
1. En cada una de las siguientes ecuaciones, identifique eltipo de ecuación,
orden.
a. Y ’ + 2Y = x

el grado y el

2

b. X 2-Y =3
Y
c. X 2  X  3  LnX
d. ( Y ’’ ) 3 – Y ’ - 2Y = x ( 2x +3 ) dx + xdY = 0
2

e. ( 2X +3 ). X + X. Y = 0
f. 2Y 2 + Y + 4 = 0
g.

2

Y ’’ - 2Y = cos( x )

2. En el espacio de la izquierda, coloque el número de la ecuación diferencial de la derecha,
de la cual la función dada es solución.
___ Y = 2X 3

1. Y ‘’ +Y = 0

___ Y =3 Cos X – 5 SenX

2. Y ‘’ + 4Y = 5e-x

___ Y = SenX +X2

3. X dY = 3Y dX

3x

___ Y = 2 e - e

2x

___ Y = e2x - 3 e-x
___ Y = 3 Sen2X + e-x

d 2 y dy
4.

 2y  0
dx 2 dx
d2y
dy
5.
y
 3 y  2e 2 x
2
dx
dx
6. Y ‘’ + Y = X 2 + 2

3. Dé 2 ejemplos de:
a. Ecuaciones diferenciales de primer orden, una lineal y otra no lineal.
b. Ecuaciones diferenciales de segundo orden, una lineal y otra nolineal.
c. Ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, una lineal y otra no lineal.
4. En los siguientes enunciados, plantee una ecuación diferencial que se ajuste a la
descripción.
a. La razón de cambio de una población p de bacterias en un instante t es proporcional a
la cantidad de bacterias que hay en ese instante.
b. La velocidad en un instante t de una partícula que se mueve a lo largode una línea
recta es proporcional a la cuarta potencia de su posición .
c. La razón de cambio en la temperatura T del café en el instante t es proporcional a la
diferencia entre la temperatura m del aire y la temperatura del café.
d. La razón de cambio de la masa A de sal en el instante t es proporcional al cuadrado
de la masa de sal presente en el instante t.
e. Suponga que un alumno portadordel virus de la gripe regresa a su escuela, que
queda aislada y tiene 1000 alumnos. Deduzca una ecuación diferencial que
represente la cantidad de personas x(t) contagiadas, si la rapidez con que se propaga
la enfermedad es proporcional a la cantidad de contactos entre los alumnos con gripe
y los que todavía no han estado expuestos a ella

5. El piloto A ha permanecido 3 millas delante de su rivalB durante cierto tiempo. A solo 2
millas antes de la meta, el piloto A se quedó sin gasolina y comenzó a desacelerar a una
razón proporcional al cuadrado de su velocidad restante. Una milla después, la velocidad
del piloto A se había reducido exactamente a la mitad. Si la velocidad del piloto B
permaneció constante, ¿quién ganó la carrera?

6. Investigue dos (2) temas de aplicación de lasecuaciones diferenciales a su respectiva
carrera. Enuncie y plantee un (1) problema relacionado con cada uno de esos temas.

Departamento de Matemáticas

Universidad Central

Página 2 de 45

TALLER No. 1
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
OBJETIVO ESPECIFICO: Reconocer las ecuaciones diferenciales de variables separables como
antiderivadas y solucionarlas correctamente.

Algoritmo desolución:

y ´ = f(x) g(y)

dy
 f ( x) g ( y )
dx

dy
 f ( x)dx
g ( y)

dy

 g ( y)   f ( x)dx

G ( y )  F ( x)  C

Departamento de Matemáticas

Universidad Central

Página 3 de 45

EJERCICIOS
Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. xydx - (x - 1)dy = 0
2. xcos2ydx + tanydy = 0
3. (1 + lnx)dx + (1 + lny)dy = 0
4. a2dx = x ( x2 - a2) dy
5. dr = bcos  dr + r sen  d 
6. dx = t(1 +t2)sec2xdt
7. dy/dx = ysecx
8. (e2x + 4)dy = ydx
9. du/dt = (t2 + 1)/(u2 + 1)
10. y’ = x2y2 + y2 + x2 + 1
11.

y’ = y2(y - 1)2

12. ex+y dx + e 2x-3y dy = 0
13. xydx - (x +2)dy =0
14. xy3dx + (y + 1)e-x dy = 0
15. x2yy’ = ey
16. N ' (t )  N  Nte t 2
dy
xy  3 y  x  3
17.

dx xy  2 x  4 y  8
dx
 
18.
 4( x 2  1)
si x    1
dt
4
2
19. x y'  y  xy
si y(1)  1
20.

1  y 2 dx ...