talleres vectoriales

Clase 1 – Vectores
Álgebra Lineal
Código 1000 003

1

Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia

Vectores en Rn

Definición 1 Definimos Rn como elconjunto de todas las n-tuplas ordenadas de números reales escritas como vectores fila o
vectores columna. De esta manera, un vector v en Rn se representa en la forma
2
3
v1
6 v2 7
6
7
v1 , v2 , . .. , v n
ó
6 . 7.
. 5
4 .
vn

El escalar vi se denomina la i-ésima componente de v.

Definición 2 (Suma de vectores y el producto por escalar)
Sean u, v vectores en Rn y sea λ un escalar real.Definimos la suma de u y v, denotada por u + v, como el vector de Rn :
3
2
3
3 2
2
u1 + v1
v1
u1
6 u2 7 6 v2 7 def. 6 u2 + v2 7
7
6
7
7 6
6
u+v = 6 . 7+6 . 7 = 6
7.
.
.
5
4
4 . 54 . 5
.
.
.
un + vn

vn

un

Por otro lado, definimos el producto por escalar de λ y v, denotado por λv, como el vector de Rn :
2
3
2
3
v1
λv1
6 v2 7 def. 6 λv2 7
6
7
6
7
λv = λ 6. 7 = 6 . 7 .
. 5
. 5
4 .
4 .
vn
λvn
Teorema 3 Sean u, v y w vectores en Rn y c y d escalares. Entonces :
1.

u + v = v + u.

2.

u + (v + w) = (u + v) + w.

3.

!
u + 0 = u.

4.!
u + ( u) = 0 ,

5.

c(u + v) = cu + cv.

6.

(c + d)u = cu + du.

7.

c(du) = (cd)u.

8.

1u = u.

!
En las propiedades 3 y 4 del teorema 3, 0 denota el vector cuyascomponentes son todas iguales a cero.
2
3
2
3
2 3
1
1
1
6 2 7
6 0 7
6 1 7
7
6
7
6 7
Ejemplo. Sean v1 = 6
4 1 5 , v2 = 4 2 5 y v3 = 4 5 5 .
2
0
1

Calcule los siguientes vectores:

3v1+ 2v2

v3 ,

v1 + v2 ,

v2 + v3

1

y

3(v1 + v2 ) + 2v2 + v3 .

Solución.
3v1 + 2v2

v3

v1 + v2

=

=

6
36
4
2
6
6
4

3
1
0 7
7
2 5
0

3
2
1
6
2 7
7+265
4
1
2

2

3 2
1
2 7 6
7+6
1 5 4
2
2

3 2
1
0 7 6
7=6
2 5 4
0

3
2
2
6
2 7
7+26
5
4
3
2

6
3(v1 + v2 ) + 2v2 + v3 = 3 6
4

=

3
2
2 7
7.
3 5
2

3 2...