TalleresCalDif

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
´
1000004 CALCULO
DIFERENCIAL
TALLER No. 1
1. Represente gr´aficamente cada una de las siguientes relaciones y determine su dominio y
su rango. ¿Cu´ales de estas relaciones son funciones?
(a) |x| = −y.
(b) x2 = y, para (x, y) ∈ [−2, 3] × [0, 7].
2. Las siguientes igualdades definen relaciones. Para cada una deellas, ¿cu´antas y cu´ales
funciones se pueden encontrar despejando y? Dibuje las gr´aficas de las funciones encontradas.
(a) x2 + y 2 = 4.
(b) 3x + y = −1.
(c) (x − 3)2 + (y + 2)2 = 3.
3. Suponga que y es una funci´on de x. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones
es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.
(a) Para cada valor de x, y puede tomar varios valores.
(b) Para cada valor dey, x puede tomar varios valores.
(c) Cuando x crece y tambi´en crece.
4. Encuentre el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones.
9−x
,
x−3

(a) f (x) =
(c) f (x) =

5. Sean f (x) = 4x2 y g(x) =

1
,
x

√
6 + x − x2 ,

(d) f (x) =

x
.
|x|

x2
. Si a y h representan n´
umeros reales positivos, halle:
x+1

(a) f (4) + g(2),
(d)

(b) f (x) =

g(a + h) − g(a)
,
h

1
a

(b) f (a) +g(a),

(c) f

√
(e) g( a) −

(f) g(f (a).

g(a),

−

1
,
f (a)

6. Un acuario debe tener 50 cm de altura y 200 cm3 de volumen. Si x e y denotan el largo
y el ancho de la base,
(a) Exprese y como funci´on de x.
(b) Exprese la cantidad de vidrio necesaria para hacer el acuario, como funci´on de x.

7. La escala de Richter fue desarrollada en 1935 por Charles Richter para medir la magnitud
M de unterremoto. Est´a dada por
M=

2
log
3

E
E0

,

donde E es la energ´ıa liberada por el terremoto medida en Joules y E0 es la energ´ıa
liberada por un terremoto de leve intensidad, la cual se toma como E0 = 104.40 Joules.
El terremoto m´as intenso registrado en Colombia ocurri´o en 1906 y liber´o una energ´ıa de
1.99 × 1017 Joules. ¿Cu´al fue su magnitud en la escala de Richter? Calcule la respuesta
conuna cifra decimal.
8. La salinidad de los oc´eanos se refiere a la cantidad de material disuelto que se encuentra
en una muestra de agua marina. La salinidad S se puede calcular a partir de la cantidad
C de cloro en agua de mar con la ecuaci´on S = 0.03 + 1.805C, donde S y C se miden por
peso en partes por millar. Calcular C, si S es 0.35.
9. La relaci´on entre las lecturas de las temperaturas engrados Fahrenheit (F ) y en grados
Celsius (C) est´a dada por F = 95 C + 32.
(a) Encuentre la temperatura a la cual la lectura es la misma en ambas escalas.
(b) ¿A qu´e temperatura la lectura en grados Fahrenheit es el doble que la lectura en
grados Celsius?
10. Cuando trazamos la gr´afica de una funci´on f en el plano cartesiano, lo que estamos
haciendo es ubicando parejas ordenadas de la forma(x, f (x)). Justifique la veracidad de
las siguientes afirmaciones.
(a) Las parejas ordenadas (2, 5), (3, −5) y (2, 7) pertenecen a la gr´afica de alguna
funci´on.
(b) La gr´afica de cualquier funci´on est´a formada por parejas del tipo (x, y), donde siempre x = y.
(c) Para (x, y), un punto en la gr´afica de alguna funci´on, se cumple que para cada valor
y existe una u
´nica preimagen x.
11. Encada caso dar ejemplos de relaciones que no sean funciones y de funciones que cumplan
las siguientes condiciones dadas:
(a) Las parejas (2, 2), (3, 3) y (4, 4) est´en en su gr´afica.
(b) La gr´afica sea sim´etrica con respecto al eje y pero no al eje x.
12. Determine si f es par, impar, o ninguna de las dos.
√
(a) f (x) = 3 2x3 + 3x.
√
(b) f (x) = 5 4x4 + 4x2 + 5.
1
13. Utilizando la gr´afica de lafunci´on g(x) = y desplazamientos, ampliaciones o reflexiones,
x
encuentre la gr´afica de las siguientes funciones:
1
+ 1,
x
4
(d) f (x) = ,
x
(a) f (x) =

1
,
x+1
1
(e) f (x) =
,
4x
(b) f (x) =

1
(c) f (x) = − ,
x
2
(f) f (x) = − .
x

14. En cada caso halle f + g, f − g, f g y

f
.
g

1
x
,
g(x) =
.
x+3
x−2
(b) f (x) = |x3 − 8|,
g(x) = |x − 2|.


−x − 2 si x < −1
(c) f (x) = −1
si − 1 ≤ x ≤...