tangente proy 1

Matemáticas: Enseñanza Universitaria
ISSN: 0120-6788
reviserm@univalle.edu.co
Escuela Regional de Matemáticas
Colombia

Alarcón, Sergio Alberto; Suescún, Carlos Mario; de la Torre, Andrés
El método de las tangentes de Fermat
Matemáticas: Enseñanza Universitaria, vol. XIII, núm. 2, diciembre, 2005, pp. 101-123
Escuela Regional de Matemáticas
Cali, Colombia

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Vol. XIII No 2 Diciembre (2005)
Educación e Historia: 101–123Matemáticas:
Enseñanza Universitaria
c Escuela Regional de Matemáticas
Universidad del Valle - Colombia

El método de las tangentes de Fermat
Sergio Alberto Alarcón
Carlos Mario Suescún
Andrés de la Torre
Recibido Feb, 24, 2005

Aceptado Ago. 12, 2005

Abstract
The purpose of the paper is to analyze the general method developed by Fermat for determining maximum and minimum values and the application hemade of this method to
the general problem of the tangent to a curve at a given point. The use Fermat made of
the pseudo-equality techniques and the anachronistic interpretations of Fermat’s method of
maxima and minima as the notion of a derivative which is made equal to zero are discussed
in detail. The way Fermat used his method of tangents in the particular cases of the folium
of Descartes and thecycloid are also expounded.
Keywords: Maximum, minimum, limit, derivative, tangent, folium of Descartes, cycloid,
pseudo-equality.
AMSC(2000): Primary: 01A45, Secondary: 00A35, 97D99.
Resumen
Se analiza el método inventado por Fermat para hallar máximos y mínimos y, en particular,
el concepto de adigualdad. Se desvirtúan algunas interpretaciones anacrónicas que conectan
dicho método con elcálculo de una derivada que se iguala a cero. Se estudia la aplicación
del método, propuesta por Fermat, para determinar la tangente a una curva plana en un
punto de la misma y se analiza, como caso particular, el de la tangente al folio de Descartes.
Se estudia la extensión del método de Fermat al caso de la tangente a la cicloide.
Palabras y frases claves: Adigualdad, máximo, mínimo, tangente, límite,derivada.

1

Introducción

El problema de determinar la recta tangente a una curva en un punto de
ésta interesó profundamente a los matemáticos griegos de la Antigüedad,
quienes concibieron inicialmente la tangente como una recta que toca a la
curva sin cortarla, inspirándose para ello en sus observaciones sobre el círculo.
Los miembros más eminentes de la primera escuela de Alejandría –Euclides,
Apolonio y Arquímedes – se ocuparon del problema. A finales del siglo IV
a.C., Euclides presentó en los Elementos de Geometría los resultados relativos
a la tangente al círculo, entre los cuales destacamos los siguientes:
“Definición III-2: Se dice que una recta es tangente al círculo
cuando lo toca y prolongada no lo corta” ([4], p. 750).
“Proposición III-16: La recta perpendicular en elextremo de un
diámetro cae fuera del círculo; entre esta recta y la periferia no
se interpondrá ninguna otra y el ángulo del semicírculo es mayor
que cualquier ángulo rectilíneo agudo y lo restante menor” ([4], p.
760).

102

Alarcón, et al

En el siglo III a.C., Apolonio definió la tangente a una sección cónica como la
recta trazada por el extremo de un diámetro paralelamente a las ordenadas a
éste.Apolonio logró así extender a las cónicas la concepción de tangente que
Euclides había establecido para el círculo. El texto pertinente de Apolonio,
tomado de Las Cónicas, reza así:
“Proposición I-17: La paralela por el vértice de una sección cónica
a una recta trazada ordenadamente cae fuera de la sección” ([1],
p. 336).
Al finalizar la prueba de este teorema, Apolonio escribió: “˙.. luego la...