Tangente secante

Instituto Politécnico Nacional

Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería Campus Guanajuato

Métodos Numéricos

2SV1

Reporte de Práctica 2: Método de la tangente

Integrantes:

Arredondo Aguilera Manuel Alejandro

Lango Reyes Ramón Octavio

Zamora Velázquez Víctor Hugo

Gómez Murayama Gustavo

Reporte de Práctica 2: Sistemas de Ecuaciones No Lineales.
Método deNewton-Raphson en dos dimensiones

Marco teórico

Un procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones no lineales se basa en la versión multidimensional del método de Newton-Raphson. La solución de este sistema consiste en un conjunto de valores de “x” y “y” que hacen todas las ecuaciones igual a cero.
El método de Newton-Raphson se deduce a partir de la interpretación geométrica basada enla serie de Taylor, en la cual se tiene que la primera derivada es equivalente a la pendiente. El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablementecercano al cero. La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz.
Una vez se ha hecho esto, el método linealiza la funciónpor la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.
Partiendo del método de Newton-Raphson en una dimensión se tiene:

Se debe notar que el procedimiento anterior tiene dos desventajas:
a) Amenudo no es fácil evaluar la ecuación. Por lo que se ha desarrollado una variación del método para vitar tal problema. Tal variación se basa en el uso de aproximaciones por diferencias finitas, para calcular las derivadas parciales que aparecen.
b) Para multiecuaciones es que usualmente se requiere de excelentes valores iniciales para asegurar la convergencia. Ya que con frecuencia esto esdifícil de obtener, se han desarrollado métodos alternos que dan un mejor comportamiento de convergencia.

Objetivos

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Programar y utilizar el método de la tangente para resolver una ecuación.

Desarrollo de la práctica

A.- Construye en Scilab un programa llamado Tangente que implemente el algoritmo del Método de la Tangente, cuyos valores deentrada serán el valor inicial, numero de iteraciones, error mínimo y la función objetivo.

Los valores de salida serán la raicé que satisface la función, el numero de iteraciones y el error relativo.

B.- Aplicar el programa a la siguiente ecuación:
x3.5=80

Determinar la Raíz, el error de tolerancia será 0.1 %, con el uso de valor inicial de 0.

Nota: Puede ser útil que grafiques ambasfiguras geométricas para obtener los puntos iniciales de las iteraciones.

Gráfica

Fig1. Gráfica de las dos funciones.
Raíces encontradas
X | Y |
-4.86417 | -3.9659 |
1.87055 | 3.12107 |
0.625204 | 2.17936 |
2.10951 | -1.33453 |

Ejecutando el programa
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->newton (2, 4, 5,0.01)
0.625204 2.179356 en 4 iteraciones con un error de 0.000249

-->u (0.625204,2.179356)
 a n s  = - 0.0000005  
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-->v (0.625204,2.179356)
 a n s  =0.0000006  
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C.- La presión requerida para enterrar un objeto grande y pesado en un suelo blando homogéneo que se...