Tangente, velocidad

Tangentes, velocidades y otras razones de cambio.
Tangentes:
La recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P(a,f(a)) es la recta que pasa por P con la pendiente
Siempre que existaeste límite.

A veces nos referimos a la pendiente de la recta tangente en un punto como la pendiente de la curva en el punto, puesto que si nos acercamos demasiado parece que tenemosuna línea recta.

Velocidad:
Ya antes se había definido a la velocidad como el límite del valor de las velocidades promedio sobre periodos cada vez más cortos.
Tenemos un objeto que semueve en línea recta de acuerdo a la ecuación de movimiento s=f(t), donde s es el desplazamiento en el instante t.
Así pues podemos obtener la velocidad promedio con la fórmula que se daen la imagen.

Ahora calculamos las velocidades promedio en tiempos más cortos, en un lapso de [a, a+h], hagamos que h tienda a cero, y definimos la velocidad instantánea en elinstante t=a como el límite de estas velocidades promedio:
Esto significa que la velocidad en el instante t=a es igual a la pendiente de la recta tangente en P.
Otras razones de cambio:Tenemos la función y=f(x), donde y depende de x. Ahora imaginamos que x cambia de x1 a x2, entonces el cambio en x (incremento de x) es: ∆x = x2 – x1
Y el cambio correspondiente en y sería:∆y = f(x2) – f(x1)
Así que el cociente de diferencias es:
Se llama razón promedio con cambio de y con respecto a x sobre el intervalo [x2 – x1] y se puede interpretar como la pendientede la recta secante PQ de la figura.

Por analogía con la velocidad, consideramos la razón promedio de cambio sobre intervalos cada vez más chicos, haciendo que ∆x tienda a 0. El límitede estas razones se llama razón (instantánea) de cambio de y con respecto a x en x=x1 lo que se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en P=(x1, f(x1)).