Tangran y geoplano

Introduccion
En este capítulo se presentarán la solución de sistemas de desigualdades lin-
eales con dos incógnitas. Un sistema de desigualdades lineales puede usarse
para modelar problemas en el mundo real como en la ingeniería industrial, la
economía ect, donde se requieren de estos. Cabe mencionar que en el estu-
dio de los sistemas de desigualdades lineales nos interesamos en elsigni…cado
geométrico, esto nos servirá para tener una visión amplia en el estudio de la
solución de modelos matemáticos, que tienen que ver con la maximización o
minimización de cierta función sujeta a ciertas limitaciones, dependiendo del
tipo de problema a tratar.
Desigualdades Lineales de primer grado con dos Incógnitas
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o másvariables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables,
o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas.
Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c. Donde m representa
la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la
rectacorta al eje Y ).
Consideremos una recta en el plano. La recta divide al plano en tres con-
juntos:
 El conjunto de puntos que están en la recta.
 La región formada por el conjunto de puntos que están arriba de la recta.
 La región formada por el conjunto de puntos que están por debajo de la
recta.
Consideremos una recta no vertical cuya ecuación es y = mx+b; los puntos
que están en larecta son precisamente los que satisfacen su ecuación. Consid-
eremos ahora un punto P (x; y) que está en la parte del plano que está arriba
de la recta, como se muestra en la siguiente …gura:
1
Si trazamos rectas paralelas a los ejes que pasan por P, éstas cortan a los
ejes X y Y en las coordenadas x y y de P. La paralela al eje Y corta a la recta
dada en un punto Q que tiene la mismaprimera coordenada de P. Al trazar
una paralela al eje X desde Q obtenemos la segunda coordenada de Q:
Q(x; y1)
Puesto que Q está en la recta, tenemos y1 = mx + b además, como P esta
arriba de la recta, la segunda coordenada de P es mayor que la de Q, es decir,
y > y1; por tanto, y > mx + b:
Como el punto P fue elegido de manera arbitraria , arriba de la recta,
cualquier otro punto que esté asicolocado satisface la desigualdad y > mx + b:
Resumiendo, una recta con ecuacion y = mx + b divide al plano en tres
conjuntos:
 Los puntos que estan en la recta y que satisfacen la ecuacion y = mx+b .
 Los puntos que están arriba de la recta y que satisfacen la desigualdad
y > mx + b:
 Los puntos que están abajo de la recta y que satisfacen la desigualdad
y < mx + b:
Una desigualdadlineal con dos variables x y y es una desigualdad que tiene
una de las formas ax + by + c < 0, ax + by + c > 0, ax + by + c  0 y
ax+by +c  0: Una solución de una desigualdad lineal con dos variables es un
par ordenado de numeros reales (x0; y0) que satisface la desigualdad cuando x0 y
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y0 son sustituidos por x y y respectivamente. Puesto que las desigualdades dadas
anteriormente tienenin…nitas soluciones, la notacion f(x; y) = ax + by + c < 0g,
f(x; y) = ax + by + c > 0g y asi sucesivamente, se usan para denotar un con-
junto de soluciones.
Geometricamente, cada uno de estos conjuntos describe un semiplano:
Como se muestra en la …gura, la gra…ca de la ecuacion lineal ax+by+c = 0,
divide al plano xy en dos regiones, o semiplanos. Uno de estos semiplanos es la
grá…ca del conjuntode soluciones de la desigualdad lineal. Si la desigualdad
es estricta dibujamos la gra…ca de ax + by + c = 0 como una recta punteada,
puesto que los puntos sobre la recta no estan en el conjunto de solución de la
desigualdad. Por otra parte, si la desigualdad no es estricta, el conjunto de
soluciones incluye los puntos que satisafcen ax + by + c = 0 y asi dibujamos el
gra…co de la...