Tarea 1 Álgebra Lineal

Tarea No. 1

ALGEBRA LINEAL I

Espacios vectoriales, subespacios vectoriales,
suma y suma directa de subespacios
1. Demostrar que en cualquier espacio vectorial V , se cumple que (a+b)(x+y) =ax+ay+bx+by
para toda x, y ∈ V y cualquier a, b ∈ F .
2. Sea V el conjunto de todas las funciones derivables de valores reales definidas sobre los
reales. Demuestra que V es un espacio vectorialsobre R, bajo las operaciones de suma y
multiplicaci´
on definidas en clase.
3. Sea V = {0} que consta de un u
´nico vector 0 y define 0 + 0 = 0 y c0 = 0, para cada c ∈ F .
Demuestra que V es unespacio vectorial sobre F . (Se llama el espacio vectorial cero).
4. Sea V el conjunto de pares ordenados de n´
umeros reales. Si (a1 , a2 ) y (b1 , b2 ) son elementos
de V y c es un elemento de R,define
(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 b2 ) y c(a1 , a2 ) = (ca1 , a2 ). ¿Es V un espacio vectorial sobre R
con estas operaciones?. Justifica tu respuesta.
5. Sea V = {(a1 , ..., an ) : ai ∈C para i = 1, 2, . . . , n}. ¿Es V un espacio vectorial sobre el campo
de los n´
umeros reales con las operaciones de suma y multiplicaci´on con correspondencia de
elementos?
6. Sea V = {(a1 ,..., an ) : ai ∈ R para i = 1, 2, . . . , n}. ¿Es V un espacio vectorial sobre el campo
de los n´
umeros complejos con las operaciones de suma y multiplicaci´on con correspondencia
de elementos?.Justifica tu respuesta.
7. Sea V el conjunto de pares ordenados de n´
umeros reales. Si (a1 , a2 ) y (b1 , b2 ) son elementos
de V y c es un elemento de R, define
(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 ,a2 + b2 ) y c(a1 , a2 ) = (0, 0) si c = 0 y c(a1 , a2 ) = (ca1 , a2 /c) si
c = 0. ¿Es V un espacio vectorial sobre R con estas operaciones?. Justifica tu respuesta.
8. Sea V el conjunto de paresordenados de n´
umeros reales. Si (a1 , a2 ) y (b1 , b2 ) son elementos
de V y c es un elemento de R, define
(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + 2b1 , a2 + 3b2 ) y c(a1 , a2 ) = (ca1 , ca2 ). ¿Es V un...