Tarea # 1 Matematicas Ib

Tarea 1 Matemáticas
Martin David Hodwalker Leal
Klasse 12b IB

Suma Infinita
Objetivo: En esta tarea, se investigará la suma de progresiones infinitas tn, donde
t0 = 1, t1 = (xlna)1, t2 = (xlna)22!, t3 = (xlna)33! …, tn = (xlna)nn! …
Una notación que puede ser de utilidad en esta tarea es la notación factorial n!, que se define de la siguiente manera:
n! = n(n-2)(n-1)…3x2x1 Por ejemplo:5! = 5x4x3x2x1 (=120) Nótese que 0! = 1
1. Considere la siguiente progresión de términos, donde x=1 y a=2.
1, (ln2)1, (ln2)22!, (ln2)33!,…
Calcula la suma Sn de los primeros n términos de esta progresión para 0 ≤ n ≤ 10. Dé sus respuestas con una aproximación de seis cifras decimales.
n | Tn | Sn |
0 | 1,000000 | 1,000000 |
1 | 0,693147 | 1,693147 |
2 | 0,240227 | 1,933374 |
3 |0,055504 | 1,988878 |
4 | 0,009618 | 1,998496 |
5 | 0,001333 | 1,998496 |
6 | 0,000154 | 1,999983 |
7 | 0,000015 | 1,999998 |
8 | 0,000010 | 1,999999 |
9 | 0,000000 | 1,999999 |
10 | 0,000000 | 1,999999 |
Utilice algún medio tecnológico para representar gráficamente la relación entre Sn y n. Describa lo que observa a partir de su grafica. ¿Qué sugiere esto acerca del valor de Sn a medidaque n tiende a ∞?

A partir de la gráfica obtenida, se observa que a medida que n tiende a infinito, los valores de Sn cada vez se acercan más a 2, pero nunca llega a 2. Esto quiere decir que la asíntota de la función en el eje Y es igual a 2. Podemos observar que a es igual a 2 por lo tanto puede que exista una relación entre Sn y n cuando x = 1.
2. Considere otra progresión de términos, dondex=1 y a=3.
1, (ln3)1, (ln3)22!, (ln3)33!,…
Calcule la suma de los primeros n términos de esta progresión para 0 ≤ n ≤ 10. Dé sus respuestas con una aproximación de seis cifras decimales.
n | Tn | Sn |
0 | 1,000000 | 1,000000 |
1 | 1,098612 | 2,098612 |
2 | 0,603474 | 2,702086 |
3 | 0,220995 | 2,923081 |
4 | 0,060697 | 2,983778 |
5 | 0,013336 | 2,997114 |
6 | 0,002442 | 2,999556|
7 | 0,000383 | 2,999939 |
8 | 0,000053 | 2,999992 |
9 | 0,000006 | 2,999998 |
10 | 0,000001 | 2,999999 |
Utilice algún medio tecnológico para representar gráficamente la relación entre Sn y n. Describa lo que observa a partir de su gráfica. ¿Qué sugiere esto acerca del valor de Sn a medida que n tiende a ∞?

A partir de la gráfica obtenida se puede observar lo mismo que la anterior, amedida que n tiende a infinito la gráfica se acerca cada vez más a 3 pero nunca llega, por lo tanto la asíntota de la función en el eje Y será 3. Podemos observar que el valor de la asíntota es igual al valor que tome a siempre y cuando x sea 1.
3. Considere ahora una progresión general donde x=1.
1, (lna)1, (lna)22!, (lna)33!,…
Calcule la suma Sn de los primeros n términos de esta progresióngeneral para 0 ≤ n ≤ 10, para distintos valores de a. Dé sus respuestas con una aproximación de seis cifras decimales.
n | Tn(para a=4) | Sn |
0 | 1,000000 | 1,000000 |
1 | 1,386294 | 2,386294 |
2 | 0,960906 | 3,347200 |
3 | 0,444033 | 3,791233 |
4 | 0,153890 | 3,945123 |
5 | 0,042667 | 3,945123 |
6 | 0,009858 | 3,987790 |
7 | 0,001952 | 3,997648 |
8 | 0,000338 | 3,999600 |9 | 0,000052 | 3,999938 |
10 | 0,000007 | 3,999997 |
n | Tn(para a=5) | Sn |
0 | 1,000000 | 1,000000 |
1 | 1,609438 | 2,609438 |
2 | 1,295145 | 3,904583 |
3 | 0,694819 | 4,599402 |
4 | 0,279567 | 4,878969 |
5 | 0,089989 | 4,968958 |
6 | 0,024139 | 4,993096 |
7 | 0,005550 | 4,998646 |
8 | 0,001117 | 4,999763 |
9 | 0,000200 | 4,999962 |
10 | 0,000032 | 4,999995 |



n| Tn(para a=6) | Sn |
0 | 1,000000 | 1,000000 |
1 | 1,791759 | 2,791759 |
2 | 1,605201 | 4,396960 |
3 | 0,958711 | 5,355672 |
4 | 0,429445 | 5,785117 |
5 | 0,153892 | 5,939009 |
6 | 0,045956 | 5,984966 |
7 | 0,011763 | 5,996729 |
8 | 0,002635 | 5,999364 |
9 | 0,000525 | 5,999888 |
10 | 0,000094 | 5,999982 |
n | Tn(para a=7) | Sn |
0 | 1,000000 | 1,000000 |
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