tarea 2 lineal

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Universidad Nacional Autonoma de Mexico
´ Anal´
Geometrıa
ıtica I
Tarea 2
I. Espacios Vectoriales
1. Demostrar que R3 , junto con las operaciones de suma y producto vistas en clase (R3 ,+, ·), forman un espacio
vectorial sobre R.
2. Sean A un conjunto no vac´ y F = {f : A → R | f es funci´n}. Demostrar que F, junto con las operaciones de
ıo
o
suma y producto definidas en claseF, +, · , forman un espacio vectorial sobre R.
3. Demostrar que, en cualquier espacio vectorial, el subconjunto de todas las combinaciones lineales de dos de sus
elementos es un subespaciovectorial.
4. Demostrar que la intersecci´n de dos subespacios vetoriales W1 y W2 de un espacio vectorial V es un subespacio
o
vectorial de V . ¿Qu´ se puede decir de la uni´n?
e
o
5. Sean V unR-espacio vectorial, S1 = {u1 , u2 , ..., un } y S2 = {u1 , u2 , ..., un , un+1 , ..., um }, donde m ≥ n. Demostrar:
(a) Si S1 genera a V , entonces S2 tambi´n genera a V .
e
(b) Si S2 es linealmenteindependiente, entonces S1 tambi´n es linealmente independiente.
e
6. Sea V un R-espacio vectorial y β = {v 1 , v 2 , ..., v n }. Entonces β es base de V si y s´lo si se satisface una de las
osiguientes afirmaciones:
(a) β es un conjunto m´ximo linealmente independiente.
a
(b) β es un conjunto m´
ınimo generador.
7. Probar lo siguiente usando las propiedades de producto interior:
(a) | u· v |≤ u
(b)
(c) |

u+v ≤ u
u

−

v

v
+

Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
v

Desigualdad del tri´ngulo.
a

|≤ u − v .

8. Decir si los siguientes conjuntos en R2 son cerrados bajola suma o el producto por escalares:
(a) A = {(x, y) ∈ R2 | xy ≥ 0}

(b) B = {(x, y) ∈ R2 | y = 3x}

(c) C = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x − 1}

(d) D = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x, x ≥ 0}

9. Si A ={(x, y) ∈ R2 | x2 + (y + 1)2 = 1} y B = {(x, y) ∈ R2 | y = 0} verificar si A, B, A ∩ B y A ∪ B son subespacios
vectoriales de R2 .
10. Decir si los siguientes subconjuntos de R2 son linealmente...