Tarea 2

UNIVERSIDAD DEL B´IO-B´IO
FACULTAD DE CIENCIAS
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Profesor(es): XC/DC/JCC/NT/MO/RC
Primer Semestre de 2015

Tarea # 2 – Ecuaciones diferenciales – 220013

Departamento deMatem´atica - Universidad del B´ıo-B´ıo - 2015

1. [15 pts] Una ecuaci´on diferencial de Cauchy-Euler es una EDO lineal de orden superior
de la forma
an tn y (n) + an−1 tn−1 y (n−1) + . . . + a1 ty + a0y = g(t)
donde los grados en t coinciden con el orden de las diferenciales de y. En general (mientras no
se necesitan ra´ıces complejas), las ecuaciones homogen´eas de Cauchy-Euler (con g(t) = 0)admiten soluciones de la forma yh = tm para alg´
un n´
umero real m. Consideramos la
Ecuaci´on
t3 y − 3t2 y + 7ty − 8y = 0
a) Encontrar una primera soluci´on de la EDO.
b) Utilizar la reducci´on de ordenpara obtener una nueva ecuaci´on de Cauchy-Euler para
las otras soluciones de la homogen´ea, y encontrar una de sus soluciones.
c) Utilizar la reducci´on de orden de nuevo para obtener todas lassoluciones de la nueva
ecuaci´on de Cauchy-Euler.
d ) Obtener todas las soluciones de la (primera) EDO.
2. [10 pts] Resolver la ecuaci´on diferencial
y + 4y = sec2x
3. [15 pts] Al final de un resorte(vertical) de longitud 10 m (al reposo) y con constante de
resorte de 20 N/m se amara un objeto de 15 kg. Si la fricci´on del aire frena el movimiento del
objeto de manera proporcional a la velocidad(fuerza en orientaci´on opuesta al movimiento)
con constante de proporcionalidad de 1/10, describir la posici´on vertical del objeto en
funci´on del tiempo (tomar la aceleraci´on gravitacional como 9,8m/s2 ).
4. [20 pts] Un sistema de cuatro estanques tiene las caracter´ısticas siguientes:
El estanque 1 contiene 800/3 L de agua, est´a constantamente mezclado y vierte 10
L/min en el estanque 2;
Elestanque 2 contiene 100 L de agua, est´a constantamente mezclado y vierte 15 L/min
en el estanque 3;
El estanque 3 contiene 100 L de agua, est´a constantamente mezclado y vierte 5 L/min
en el estanque...