Tarea 2

Tarea Examen de Ecuaciones Diferenciales I
Aplicaciones de Ecuaciones de Primer Orden
1. Una caja de leche enlatada pesa 24 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠 y se suelta desde el reposo en la parte superior
de un plano metálico inclinado que mide 30 𝑚 de longitud y está inclinado 45° respecto a la
horizontal. La resistencia del aire es numéricamente igual a un tercio de la velocidad y el
coeficiente de rozamiento es 0.4a. ¿Cuál es la velocidad con que se mueve la caja un segundo después de haberse
soltado?
b. ¿Cuál es la velocidad que lleva la caja en el momento de llegar a la parte inferior del
plano?
2. Un paracaidista que pesa 80 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠. Después de saltar del avión a una altitud de 4572𝑚, el
paracaidista espera 15 segundos y abre su paracaídas. Supongamos que la resistencia del aire
es de 0.5𝑣, donde 𝑣 es lavelocidad; durante la caída libre y cuando se abre el paracaídas la
resistencia es de 10𝑣. Supongamos que la velocidad inicial al saltar del avión es de cero. ¿Cuál
es la velocidad del paracaídas y cuánto ha recorrido 20 segundos después de salir del avión?
¿Cómo se compara la velocidad del paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal?
¿Cuánto tarda en llegar al piso?
𝑑𝑥

3. Flujo deTráfico Una ecuación diferencial que surge en el estudio del flujo de tráfico 𝑑𝑡 =
1
𝑣
2 𝑜

𝑥

+ 2𝑡, donde 𝑣0 es la velocidad máxima del automóvil en el flujo de tráfico y 𝑥 es la

distancia dirigida de un automóvil desde un semáforo (𝑡 es el tiempo). Si el automóvil arranca
𝑥
desde el reposo, entonces de la ecuación diferencial tenemos que 𝑥 = −𝑥0 para 𝑡 = 𝑣0
0

a. Encuentra la solución de esteproblema de valor inicial y demuestra que 𝑣0 es de
hecho la máxima velocidad para el automóvil.
b. Encuentra el tiempo que le toma al automóvil alcanzar el semáforo y compáralo
con el tiempo que le tomaría si el automóvil estuviera recorriendo a su máxima
velocidad la distancia completa desde su lugar de arranque hasta el semáforo ¿Tu
respuesta te sorprende o no?
4. Un cuerpo de masa 𝑚 está enmovimiento rectilíneo a lo largo de un eje horizontal. La fuerza
resultante que actúa sobre el cuerpo está dada por −𝑘𝑥, donde 𝑘 > 0 es una constante de
proporcionalidad y x es la distancia a lo largo del eje desde un punto fijo 𝑂. El cuerpo tiene una
𝑑𝑣

velocidad inicial 𝑣 = 𝑣0 cuando 𝑥 = 𝑥0 . Aplica la segunda ley de Newton en la forma 𝑚𝑣 𝑑𝑥 =
𝑑𝑣

𝐹. Y después escribe la ecuación diferencial delmovimiento en la forma 𝑚𝑣 𝑑𝑥 = −𝑘𝑥.
Resuelve la ecuación diferencial, aplica la condición inicial y expresa el cuadrado de la
velocidad 𝑣 como una función de la distancia 𝑥. Debes recordar que 𝑣 =

𝑑𝑥
,
𝑑𝑡

demuestra que la

relación entre 𝑣 y 𝑥, obtenida de esta manera, se satisface para todo tiempo t por 𝑥 =
2

√𝑥02 + 𝑚𝑣0 𝑠𝑒𝑛 (√ 𝑘 𝑡 + 𝜙), donde 𝜙 es una constante.
𝑘
𝑚
5. Se deposita una cantidad de$100 en un banco extranjero que paga 20% de interés anual
compuesto diariamente. Cada día se hace una transacción por la cantidad de 𝑓(𝑡) dólares.
Parte del año se puede depositar dinero [𝑓(𝑡) > 0], y parte del año puede hacer retiros

[𝑓(𝑡) < 0]. Si 𝑡 está en años, esta transacciones ocurren con el siguiente patrón cíclico anual
400

𝑓(𝑡) = 365 cos(2𝜋𝑡)$𝑑í𝑎 = 400 cos(2𝜋𝑡)$𝑎ñ𝑜
a. Encuentra lacantidad de dinero en la cuenta como una función de 𝑡
b. Grafica tu respuesta del inciso a) para 10 años.
6. Un lago con buena circulación contiene 1000𝑘𝐿 de agua contaminada a una concentración de
𝑘𝑔

2 𝐾𝐿. Agua del desagüe de una fábrica entra al lago a una tasa de 5
de

𝑘𝑔
7 𝐾𝐿

𝐾𝐿
ℎ

con una concentración

de contaminante. El agua fluye por una tubería de salida a una tasa de 2

𝐾𝐿
.
ℎDetermina

la cantidad de contaminante como una función del tiempo
7. Un tanque grande contiene 7 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 de agua pura. Agua contaminada que contiene 7𝑔 de
bacterias por galón entra a una tasa de 14
4

𝑔𝑎𝑙
.
ℎ

𝑔𝑎𝑙
.
ℎ

El agua bien mezclada se saca a una tasa de

Sin embargo, también se sabe que las bacterias se reproducen dentro del tanque a una

tasa de crecimiento de 2% por hora. Determina la...