Tarea 3 - IN3401


Tarea 3
IN3401 – Estadística para la Economía y la Gestión






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Tasa de abandono única

Se pretende predecir la deserción de clientes afiliados a una cierta empresa. Se sabe que la probabilidad individual de irse en un cierto tiempo es de:


Para comenzar, se propondrá un estimador para , el cual se mostrará que es consistente e insesgado:
Se utilizará elprimer momento de la distribución Geométrica:

El cual se igualará, mediante el método de los momentos al primer momento muestral para la cantidad de clientes que se quedan en el año t:


Obteniéndose:

Inmediatamente de esto se obtiene la consistencia, debido a que es un estimador consistente, y por TCL se tiene el resultado; entonces sólo basta probar que es insesgado, lo cual también sale delo anterior, donde tomando el valor esperado de , es lo mismo que hacerlo de la ecuación después de la igualdad, lo cual es equivalente a .
Luego se tomará el valor de para , ya que los datos de después de ese año se utilizarán para verificar la exactitud del modelo; entonces es .
Como se sabe que la varianza de una distribución Geométrica es:

Y además se tiene la derivada de :Utilizando el método Delta se obtiene que:

Y a partir de esto se construye un Intervalo de confianza para de manera asintótica:

















Dos tasas de abandono

Ahora se tiene el siguiente modelo:


El cual contiene tres parámetros que serán estimados mediante el Método de Máxima Verosimilitud:

Y aplicando logaritmo natural:

Donde colección de todos los clientes quese fueron (la suma de todos los t); y n es el total de clientes en el año 0.
Usando el Solver de Excel se obtuvo los siguientes resultados (para ):
FO y Parámetros
Óptimos

-1680.05

0.083

0.586

0.439
Tabla 1: Valores de máxima verosimilitud y sus parámetros.
De donde se obtienen predicciones para la cantidad de miembros que permanecen y se van se la empresa en cada año, cifrasque se obtienen a partir de los valores esperados:


Como la predicción se hizo desde el año cero hasta el año 7, y se dejó fuera del año 8 al 12, con el fin de usar esos datos para ver qué tan bueno es el modelo con valores fuera de la muestra, se realizó una comparación entre los valores reales y los prediccios desde el año 0 hasta el año 12, siendo ilustrado en el siguiente gráfico (dondeel eje de las abscisas corresponde al año):

Gráfico 1: Comparación entre datos y predicción de % miembros activos a través de los años

Como se puede observar en la Tabla 1, existen dos tipos de socios, el tipo 1, que tiene una tasa de abandono muy pequeña, es decir, son muy leales, lo que explica que la curva se suavice a medida avanzan los años; y los del tipo 2, que tienen una tasa deabandono superior al 50%, es decir, son poco leales, siendo esta la explicación del abandono acelerado los primeros años.
A partir de esto, es de interés saber cuál es el valor esperado de socios activos del tipo 1 en el año 7, por ejemplo, para lo cual se utiliza la siguiente ecuación:


Luego, esta probabilidad se multiplica por el número de personas que quedan en el año 7, y se obtiene elresultado:

Valor

0.437

241
𝔼
107
Tabla 2: Valores de probabilidades, socios afiliados año 7 y socios afiliados tipo 1 en año 7.


Infinitas tasas de abandono

Primeramente se debió demostrar la probabilidad que un cliente abandone la empresa en un tiempo t y que la abandone después de ese tiempo. Para ello se tiene:


Entonces se desarrolla como sigue:



Y por otra parte:En seguida se procedió a estimar y mediante Máxima Verosimilitud; para ello se utilizó la siguiente propiedad a partir de lo anteriormente demostrado:

Y para los años posteriores al séptimo se usará el hecho que (notar que la estimación se hará con menos datos, al igual que en sección anterior), se obtuvo lo siguiente:

F.O. y parámetros
Valores Óptimos

-1680.27

0.7...