Tarea 3 Proyecto Ra Ces


INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECANIA Y ELECTRICA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
ACADEMIA DE COMPUTACIÓN




Análisis Numérico
TAREA 3: “Proyecto Raíces. (Bisección, Regla Falsa, Newton, Secante) con graficador.”











Nombre: Abner José Martínez García Grupo: 3AM2 Carrera: Ing. en Control y Automatización
Boleta: 2014301108
Profesor: ING. ENRIQUEMARTÍNEZ ROLDÁN
Fecha: 20 de Enero de 2015

Métodos cerrados
Son técnicas a las que se les llama métodos cerrados, o de intervalos, porque se necesita de dos valores iniciales para la raíz. Como su nombre lo indica, dichos valores iniciales deben “encerrar", o estar a ambos lados de la raíz. Los métodos particulares descritos aquí emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamañodel intervalo y así converger a la respuesta correcta.

Método de bisección
El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz sedetermina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.


Una representación gráfica del método de bisección. La gráfica presenta las primeras tres iteraciones.


Criterios de paro y estimaciones de errores
Se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuándo debe terminar el método. Unasugerencia inicial sería finalizar el cálculo cuando el error verdadero se encuentre por debajo de algún nivel prefijado. Se requiere estimar el error de forma tal que no se necesite el conocimiento previo de la raíz. Se puede calcular el error relativo porcentual Ɛa de la siguiente manera:

donde xrnuevo es la raíz en la iteración actual y xranterior es el valor de la raíz en la iteraciónanterior. Se utiliza el valor absoluto, ya que por lo general importa sólo la magnitud de Ɛa sin considerar su signo. Cuando Ɛa es menor que un valor previamente fijado Ɛs termina el cálculo.


Errores en el método de bisección. Los errores verdadero y aproximado se grafican contra el número de iteraciones.





Método de la falsa posición
Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida paradeterminar raíces, su método de aproximación por “fuerza bruta" es relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa basada en una visualización gráfica.
Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo de xl a xu en mitades iguales, no se toman en consideración las magnitudes de f(xl) y f(xu). Por ejemplo si f(xl) está mucho más cercana a cero que f(xu) eslógico que la raíz se encuentre más cerca de xl que de xu. Un método alternativo que aprovecha esta visualización gráfica consiste en unir f(xl) y f(xu) con una línea recta. La intersección de ésta línea con el eje de las x representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta da una “falsa posición" de la raíz; de aquí el nombre de método de lafalsa posición, o en latín, regula falsi. También se le conoce como método de interpolación lineal.
Usando triángulos semejantes la intersección de la línea recta con el eje de las x se estima mediante

en la cual se despeja xr

Ésta es la fórmula de la falsa posición. El valor de xr calculado con la ecuación reemplazará después, a cualquiera de los dos valores iniciales, xl o xu y da un valor de lafunción con el mismo signo de f(xr). De esta manera, los valores xl y xu siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmo es idéntico al de la bisección.




Representación gráfica del método de la falsa posición. Con los triángulos semejantes sombreados se obtiene la fórmula para el método.






Comparación de los...