Tarea 5

5Relatividad
Tarea 5
Sa´l Ramos-S´nchez (ramos@fisica.unam.mx) u a Ayudante 1: Carlos Eduardo Ram´ ırez Codiz (eduardo codiz@hotmail.com) Ayudante 2: Tupac Bravo Ibarra (t.bravo21188@gmail.com)Semestre 2013-2 Entrega: Jueves 7 de marzo del 2013

1. Ecuaciones de Maxwell en relatividad especial. Las 4 ecuaciones de Maxwell (en espacio plano) en el vac´ y sin fuentes son ıo ∇ · E = 0, ∇ · B =0, ∂B = 0, c ∂t ∂E ∇×B− = 0. c ∂t ∇×E+

Demuestre que estas ecuaciones son compatibles con la ecuaci´n ∂µ F µν = 0 (con las compoo ∂ e nentes del vector covariante del gradiente ∂µ := ∂xµ ) medianteel siguiente m´todo. (a) El papel esencial del tensor m´trico es establecer un mapeo entre vectores y vectores e covariantes (o 1-formas). Para mostrarlo, definimos el vector covariante (o 1-forma) Vtal que V (C) = V · C, donde V, C del lado derecho de la igualdad son 4-vectores. Las componentes del vector covariante V son Vµ ≡ V (eµ ) = V · eµ = (V ν eν ) · eµ = (eµ · eν )V ν = ηµν V ν . Laultima igualdad es v´lida en el espacio de Minkowski, donde ηµν = diag(1, −1, −1, −1). ´ a El resultado es que ηµν permite expresar las componentes {Vµ } de un vector covariante en t´rminos de lascomponentes {V µ } del vector asociado. e Si η µν denota las componentes de la inversa de ηµν , ¿c´mo se expresan las componentes o µν en forma matricial. del vector en t´rminos de las de la 1-forma? Escribaη e (b) Dada la definici´n de ∂µ , use el inciso anterior para expresar ∂ µ en t´rminos de ∂µ . o e Muestre que el operador de D’Alembert est´ dado por = ∂µ ∂ µ = ∂ µ ∂µ . a (c) Muestre que ent´rminos del 4-vector de potencial electromagn´tico A = (φ, A), las 4 e e ecuaciones de Maxwell son compatibles con Aµ − ∂ µ (∂ν Aν ) = 0 ,
∂A donde E = − c ∂t − ∇φ y B = ∇ × A. Hint: use ∇ × (∇ × A) = −∇2 A+ ∇(∇ · A).

(1)

(d) Definamos el as´ llamado “tensor de Faraday” como F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ . Muestre ı finalmente que la ec. (1) se puede reescribir como ∂µ F µν = 0. 2. Composici´n de...