tarea algebra fcfm culiacan

Problema 1. Sean a; b 2 Z. Pruebe que si d = mcd(a; b) y d = ar + bs, con r; s 2 Z, entonces r y s son primosrelativos.
Dados dos enteros a y b no ambos cero; a y b son primos relativos sí y sólo sí existen enteros r y s tales que1 = ar + bs.
Demostración: Si a y b son primos relativos entonces M.C.D.(a, b) = 1. Luego 1 = ar + bs.
Ahora,sea d = M.C.D.(a, b), luego d|a y d|b y por teoremas se tiene que d|(ar + bs), o sea que d/1. Necesariamente d = 1. 
Porlo tanto r,s son primos relativos 















Problema 2. Sean a; b 2 Z. Si d = mcd(a; b) y a =a,d, b = b,d, pruebe que a’ y b’ son primos entre sí.
Dados dos enteros a y b no ambos cero; a y b, sustituyendoa=a’d y b=b’d son primos relativos sí y sólo sí existen enteros r y s tales que 1 = ar + bs=(a’d)r + (b’d)sDemostración: Si a y b son primos relativos entonces M.C.D.(a, b) = 1 que es lo mismo que M.C.D (a’d, b’d)=1. Luego por teorema1 = ar + bs=(a’d)r + (b’d)s
Ahora, sea d = M.C.D.(a, b), luego d|a y d|b que sistituyendo lo que vale a y b tenemosque d|(a’d) y d|(b’d)  y por teoremas se tiene que d|ar + bs, o sea que d/1. Necesariamente d = 1.