Tarea algebra

Tarea 1 de Algebra Lineal I
Demuestre las siguientes armaciones: 1. Sean x, y ∈ V , entonces existe un unico vector z ∈ V tal que x + z = y . 2. Sea V = {f (x) : R → R | f(x) es solucion de f (x) + a(x)f ‘ (x) + b(x)f (x) = 0}, entonces V es un subespacio vectorial sobre de las fuciones de R en R. (Nota: f indica la derivada de f , f es lasegunda derivada y a(x), b(x) son funciones continuas de los reales en los reales.) 3. Sea A = (x, y, z) ∈ R3 | x = 1 demostrar que A es un espacio vectorial sobre R con la suma (x,y, z) + (x , y , z ) := (x + x , y + y , 1) y la multiplicación escalar r(x, y, z) = (rx, ry, 1). 4. Sean U, W ⊂ V subespacios de un espacio vectorial V , denimos U +W := {x +y | x ∈ U, y ∈ W }. Entonces:
a ) U + W es subespacio de V que contiene a U y W b ) Para todo V subespacio de V que contenga a U y W entonces tambien contiene a U + W .

5.Para M matriz de n×n con entradas en un campo F, denios la traza de M como tr(M ) := M11 +M22 +...+Mnn . Sea V = {M ∈ Mn×n (F ) | tr(M ) = 0} entonces V es un subespacio deMn×n (F ). Diga cuáles de las siguientes armaciones son ciertas y cuáles son falsas, con una demostración o un contraejemplo según sea el caso: 1. En todo espacio vectorial r¯= s¯ implica que a = b. x x 2. En todo espacio vectorial r¯ = r¯ implica que x = y . x y ¯ ¯ 3. El conjunto A (denido en la pregunta 3 del apartado anterior) es un subespaciovectorial de R3 . 4. R2 con las operaciones (x, y) + (x , y ) := (x + x , y + y ) y
r(x, y) = (0, 0) si r = 0 y (cx, r ) si r = 0

es un espacio vectorial sobre R. 5. Sea V= ∅ un subconjunto de un espacio vectorial V sobre F , entonces V ' es un subespacio de V si sólo si para todos x, y ∈ V y r ∈ F se tiene que x + y ∈ V y rx ∈ V .

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