Tarea Calculo Iv

SEGUNDA PRACTICA CALIFICADA DE CALCULO 4
2.- Si: Fx,y,z=Px,y,z;Qx,y,z;Rx,y,z; D la región limitada por una superficie cerrada S, demostrar que el teorema de la divergencia expresado en coordenadascartesianas es

D∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂zdxdydz=SPdydz+Qdzdx+Rdxdy
SOLUCION:
Si Fx,y,z=Px,y,zi+Qx,y,zj+R(x,y,z)k es un campo vectorial definido en un conjunto abierto U⊂R3 y D⊂U laregión limitada por una superficie cerrada S, entonces el problema nos pide demostrar el teorema de la divergencia expresado en coordenadas cartesianas, es decir:DS∂P∂x+∂Q∂Y+∂R∂zdivFdxdydzdv=SSPdydz+Qdzdx+RdxdyF. ndS
En efecto:
Como hipótesis se tiene el campo vectorial F=Pi+Qj+Rk
si α, β, γ son los ángulos directores del vector normal n y cosα, cosβ, cosγ son los cosenos directores de n, entonces el vectornormal n se puede expresar como:
n=cosαi+cosβj+cosγk
el diferencial de superficie es dS=∂r∂x×∂r∂ydxdy
luego, el teorema de la divergencia de Gauss afirma que:
DSdiv Fdv=SSF∙ndS …(I)
En el segundo miembro de (I) desarrollemos el producto escalar siguiente:
F∙ndS=Pi+Qj+Rk∙cosαi+cosβj+cosγkdS
=Pcosα+Qcosβ+RcosγdS=PcosαdS+QcosβdS+RcosγdS

se cumple que: cosαdS=dydz; cosβdS=dzdx; cosγdS=dxdy
por lo tanto: F∙ndS=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
Luego; como: div F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z queda probado que:
DS∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂zdxdydz=SSPdydz+Qdzdx+Rdxdy3.- Hallar el valor de S∇∅.ds siendo S la parte no plana del casquete elipsoidal definido por
x2a2+y2b2+z2c2=1 , z≥0 y ∅=(x+1)2+2y-12+z2 , use el teorema de divergencia para calcularS∇∅.ds sobre la cara plana z=0 del caquete.
Solución:
Utilizando el teorema de divergencia tenemos:
Sd∇ϕ.ds=SS∆ϕ.dV
En donde se ha utilizado la identidad ∇. ∇f=∆f .
Calculemos entonces ∆ϕ:∆∅=∂2∅ ∂x2+∂2∅ ∂y2+∂2∅ ∂z
= 2 + 2 + 4
= 8
Entonces tenemos que:
SSΔϕdV=8SSdV
Notemos que aquí...