Tarea Ciencia y Tecnología de Materiales - Estructura Cristalina - Solidificación - Difusión - Imperfecciones

SOLUCIÓN A LA TAREA DEL MÓDULO I
La resolución de los problemas propuesta no es necesariamente la única. Puede haber
formas alternativas, pero equivalentes, de llegar a los mismos resultados

P1)

De las estructuras habituales de los metales se sabe que el calcio (Ca) sólo presenta las de
tipo cúbico, es decir, bcc o fcc. Deduzca a qué tipo de estructura cúbica corresponden los
siguientesdatos del Ca:
Pat=40.08 g/mol, densidad (20ºC)=1.55g/cm3, a=5.588Å
Dado que se cuenta con el parámetro de red como dato de partida, lo más recomendable
es calcular el nº de átomos/celda. Si se acerca más a 2 entonces es bcc; a 4 sería fcc.
A partir de la expresión de la densidad, el nº átomos/celda será:

ρ=

N º At

Celda
a3

× Pat

Nav ⇒ N º At

Celda

=

ρ ⋅ a 3 ⋅ N avPat

(

)

3

1.55 ⋅ 5.588 ×10 −8 ⋅ 6.022 ×10 23
=
= 4.06
40.08

Como sale prácticamente 4, la estructura a la que corresponden los datos es fcc
Haciendo uso de la condición de compacidad para esa estructura podemos calcular el radio
atómico del Ca.
=

√2
= 1.976 Å = 0.198
4

A 447ºC se ha observado que el Ca experimenta una transición a la otra estructura cúbica.Considerando que el radio atómico se mantuviese constante, determine el cambio relativo
de volumen asociado a esa transición, en términos de % de expansión o contracción para una
masa fija de Ca.
Para calcular el cambio de volumen asociado a la transición fcc → bcc, con la condición de
que el radio atómico se mantiene constante, una forma es a partir de la relación entre
densidades

=

=

==

4∙

#!

"

2∙

#!

"

4 &
$ %
√2
4 &
$ %
√3

&

2
= 2 () * = 1.09
3

Es decir, Vbcc=1.09·Vfcc, de forma que si el volumen inicial (fcc) es 100 (cm3), el final será
109 (cm3), lo que da cuenta de un 9% de expansión.
Otra manera de resolverlo es calcular la densidad en sistema bcc y operar con ella. El
resultado es el mismo:
=

√2
= 1.976Å ⟹
4

=

2∙Vbcc/Vfcc=ρfcc/ρbcc=1.55/1.4=1.11 ⇒ 11% expansión

$

#!

4
%
√3

&

"

= 1.4 #
.

&

P2)

El zinc (Zn) presenta estructura hcp a temperatura ambiente (20ºC), con una densidad de
7.13 g/cm3. Determine el valor que toma la relación entre los parámetros de red c/a,
conociendo que el radio atómico del Zn es 0.133 nm y el peso atómico es 65.41 g/mol. ¿A
qué factor deempaquetamiento atómico corresponden esos datos?
En este caso, hay que hacer uso de las relaciones concretas de la estructura hcp, como la
relación de compacidad o el volumen de la celda unidad:
El parámetro a sería simplemente: a = 2R = 2x1.33Å = 2.66Å = 2.66x10-8cm
Para calcular la relación c/a utilizamos la expresión de la densidad referida la celda hcp:

ρ=

N º Atomos

celda
Vol celda

×Pat

Nav =

6 × 65.41

6 × 65.41
6.022 × 10 23 =
6.022 ⋅ 10 23 = 7.13
3
3 3 2
3 3
a c
⋅ 2.66 ⋅ 10 −8 · c
a
2
2

(

)

Despejando sale directamente que: c/a=1.869, que es el valor concreto que toma para el
Cd con los datos aportados. El valor 1.633 solo es en el caso ideal de máxima compacidad.

8

P3)

4
5

2× 67 5

El factor de empaquetamiento atómico sería: /. 0.1. = 5√5

9:7;5 ⁄

=

:6
& √& ⁄

= 0.647 = 64.7 %

Determinar los índices [uvw] de las direcciones A y B mostradas en la siguiente celda unidad
cúbica:
Podemos verlo de dos maneras:
+Z

½

a) haciendo coincidir el origen del sistema de
coordenadas con el de los vectores A o B.

A

b) a partir de la diferencia entre las coordenadas del
punto final e inicial de cada vectoridentificativo de la
dirección.

½
B
+Y

+Z

+X

Opción a)

+Z

b
½

B

a
½

A
+X

+Y
+X

+Y

Bajo esta representación las coordenadas del punto a son (1/2, -1, 0). Pasadas a mínimos
enteros y usando la notación para índices negativos las coordenadas [uvw] de la dirección
A quedan:

A
>?@BC

Para la dirección B las coordenadas del punto b son (-1, 1, ½) que...