Tarea de calculo vectorial

Integrales de línea.

Integral curvilínea de un campo escalar
Para f : R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t  [a, b], está definida como:


donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Lasintegrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).
Integral curvilínea de un campo vectorial[editar]
Para F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t  [a, b], está definida como:

donde  es el productoescalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios,las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.
Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par  donde





Calculo de integrales de línea


Es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva.
En el caso de una curvacerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también Integral de Contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;
Ó también para el cálculo del trabajo que serealiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

El teorema fundamental del cálculo puede escribirse como:



donde  es continua en . El teorema del cambio total también se llama ecuación 1, La integral de una razón de cambio es el cambio total.
Si pensamos que el valorgradiente  de una función  de dos ó tres variables es una especie de derivada de , entonces el teorema siguiente puede considerarse como una versión del Teorema Fundamental para las Integrales de Línea.
Teorema:
Sea una Curva C una curva suave dada por la función vectorial . Sea "f" una función derivable de dos ó tres variables, cuyo vector gradiente  es continuo sobre C.
Entonces:


El teorema nos diceque podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo ( el campo vectorial gradiente de la función potencial f) con solo conocer el valor de "f" en los extremos de C. De hecho el teorema nos expresa que la integral de línea de  es el cambio total de "f". Si "f" es una función de dos variables y C es una curva plana con punto inicial A(X1, Y1) y punto final B(X2 , Y2), entoncesel teorema se convierte en:



Si "f" es una función de tres variables y C es una curva en el espacio que une  con  , entonces tenemos:

















Teorema de divergencia
Sean  y dos subconjuntos abiertos en  donde  es simplemente conexo y el borde de ,  es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.
Sea , un campo vectorial de clase , es decir,  cuenta conderivadas parciales de primer orden continuas.
Entonces:

donde el vector  normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen .
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la...