tarea de mate

Desigualdades Cuadráticas
Una desigualdad se llama cuadrática si tiene alguna de las formas siguientes:

con .
Antes de indicar como se resuelven estas desigualdades, recordamos que las soluciones de la ecuación cuadrática  donde  son

Además, fácilmente se verifica que  y  satisfacen las siguientes relaciones

La última fórmula nos proporciona un método para factorizar cualquiertrinomio de la forma  en todos los casos posibles.
Veamos ahora como se resuelven las desigualdades cuadráticas. Una primera simplificación que podemos hacer es suponer que , pues en caso contrario, multiplicando la desigualdad por, esta se transforma en otra desigualdad cuadrática con .
Se presentan dos casos
Caso 1 Si .
En este caso la ecuación cuadrática  tiene raíces reales  y , podemosfactorizar el trinomio  en la forma , y la desigualdad se resuelve como en el ejemplo 2.39.
Caso 2 Si .
En este caso las raíces de la ecuación  no son reales, sino complejas, y la factorización  no sirve para resolver la desigualdad.
Para resolver la desigualdad en este caso procedemos de la siguiente forma:
Completando el cuadrado tenemos

Por lo tanto las desigualdades cuadráticas se transforman ensu orden en

Como estamos suponiendo que  y sabemos que , las dos primeras desigualdades son válidas para todo número real y las dos últimas para ninguno.
Ejemplo 2.46. Resolvamos la desigualdad
.
En este caso . Por lo tanto la ecuación  tiene raíces reales que son

Luego la factorización de  es

y la desigualdad original es equivalente a

Elaborando el diagrama de signos tenemosVemos que la solución de la desigualdad es el intervalo 
Ejemplo 2.47. Resolvamos la desigualdad .
En este caso tenemos que . Por lo tanto la ecuación  no tiene raíces reales y de acuerdo a la teoría desarrollada, el conjunto solución de la desigualdad  es todo .
Ejemplo 2.48.
Resolvamos la desigualdad .
La desigualdad es equivalente a .
Para esta última desigualdad tenemos que . Por lo tantola ecuación  no tiene raíces reales y de acuerdo a la teoría desarrollada, el conjunto solución de la desigualdad  es . Es decir, la desigualdad original  no tiene soluciones reales.
Para terminar esta sección, recalcamos que cuando  y , las desigualdades cuadráticas, o tienen como conjunto solución todo , o no tienen soluciones reales.
 


 

Desigualdades racionales o inecuacionesracionales.

 1.Definición:

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polifónicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a 2Es uno de los que trae más complicaciones, porque una inecuación racional es una expresión de tipo fracción, donde la variable está en el numerador y el denominador.

No olvide de:
1. No multiplicar en cruz2. Para saber si el intervalo es abierto y cerrado
El denominador siempre es abierto
Numerador depende de la desigualdad.
Desarrollo:
Pasos:
1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
2. Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
3. Tomamos un punto decada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
4. La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

    2.Definición:  Una inecuación racional es en la cual el numerador y el denominador son polinomios
                   Por ejemplo:
                              
                               

                   

                      Ejemplos:
                        
                      
                  



                      Ejercicios:
  
                            
3.Ecuaciones racionales. 33
 
Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas.
Resolución de ecuaciones racionales
Para resolver ecuaciones racionales se multiplican ambos...