tarea economia




a) Hay dos maneras de demostrar que la función es creciente en el intervalo:
1. Partiendo de la definición de función creciente, para todo número a < b pertenecientes alintervalo, se tiene que ƒ(a) < ƒ(b), por lo que:
a² + a < b²+ b
El binomio no es un cuadrado perfecto, por lo que sumamos en ambas parte un número que represente un cuadra, en estecaso ¼.
a² + a+ (1/4) < b²+ b+ (1/4)
[a+ (1/2)]²< [b+ (1/2)]²
|a+ (1/2)|< |b+ (1/2)|

Ahora, como a y b > 0 por pertenecer al intervalo [1, 5], entonces a+ (1/2)> 0 y b+ (1/2)>0, por lo que:
|a+ (1/2)|< |b+ (1/2)|
Se tiene que
a + (1/2)< b+ (1/2)
a < b
Para todo a y b pertenecientes al intervalo. Después, ƒ(x) es creciente en el intervalo.
2. secalcula la derivada de ƒ(x), ƒ'(x)
ƒ'(x)= 2x+ 1
Ahora, cuando la derivada sea mayor que cero, la función será creciente. Entonces,
2x+ 1> 0
x> -1/2

Pero la función sólo estádefinida en el intervalo [1, 5], por lo que claramente para todo x perteneciente al dominio, ƒ'(x) es mayor que cero y ƒ(x) es creciente.

b) Se supone que la función no sea unouno y se demuestra que lleva a una contradicción:
Se supone que para dos números x₁ y x₂ distintos y pertenecientes al intervalos, se tiene que
ƒ(x₁)= ƒ(x₂)
Por lo que
(x₁)²+ x₁=(x₂)²+ x₂
(x₁)²+ x₁+ (1/4) = (x₂)²+ x₂+ (1/4)
(x₁+ (1/2))²= (x₂+ (1/2))²
|x₁+ (1/2)|= |x₂+ (1/2)|
Pero, de nuevo, ambos son mayores que cero por lo que:
x₁+ (1/2) = x₂+ (1/2)Por lo que
x₁= x₂
Lo que contradice la hipótesis de que no sea inyectiva y la función lo es.

c) La función se iguala a y:
y= x²+ x
y+ (1/4)= x²+ x+ (1/4)
y+ (1/4)= [x+(1/2)]²
√[y+ (1/4)]= x+ (1/2)

- esto último por el mismo argumento de que x+ (1/2)>0-

-(1/2)+ √[y+ (1/4)]= x
Por lo que la función inversa es

ƒ-1(x)= -(1/2)+ √[x+ (1/4)]