Tarea Ecuaciones Diferenciales1

1. Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que
la tasa a la cual C se forma varía con las cantidades instantáneas de los químicos
A y B presentes. La formación requiere 2 lb de A por cada libra de B. Si 10 lb de A
y 20 lb de B están presentes inicialmente, y si 6 lb de C se forman en 20 min,
encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.

Antecedentes:
*La cinética química es el área de la Química que estudia la rapidez con que ocurren
las reacciones químicas.
* La velocidad de la reacción es una medida de la rapidez con que se consume una
sustancia o la rapidez con que se produce cierta sustancia.
* La rapidez se expresa como un cambio de concentración que tiene lugar en un
intervalo de tiempo.
* Factores que afectan la reacción: Naturaleza delos reactivos, Concentración de
los reactivos, Temperatura, Catalizadores.
Ecuación de velocidad
* La relación entre concentración de reactivos y velocidad de reacción está dada
por la ecuación de velocidad.
* Para la reacción 𝑎𝐴 + 𝑏𝐵 → 𝑐𝐶 + 𝑑𝐷
𝑉 = 𝑘[𝐴]𝑛 [𝐵]𝑚
* Donde k es la constante cinética y su valor depende de la temperatura.
* La suma de n + m se conoce como orden de la reacción.
* k, n y mse determinan experimentalmente.
* La utilidad de conocer la ecuación de velocidad de una reacción radica que si se
conocen los valores de n, m y k se puede saber la velocidad de la reacción a
cualquier concentración de los reactivos.
* A medida que la concentración de reactivos disminuye la velocidad de reacción
disminuye.
* Considerando la ecuación de velocidad como un diferencial de cantidadde
producto con respecto al tiempo, se puede plantear una ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden.

Planteamiento:
* El compuesto A y el B reaccionan para formar el compuesto C.
* Si la temperatura se mantiene constante, la velocidad de una reacción química en
la que se forma un compuesto C a partir de dos sustancias A y B es proporcional al
producto de las concentraciones o cantidades delas sustancias que no han
reaccionado.

Siendo:
x (t): la cantidad de C en el instante t
a (t): la cantidad de A consumida en el instante t
b (t): la cantidad de B consumida en el instante t
α: la cantidad inicial de A
β: la cantidad inicial de B
Se tiene que:
𝑉 = 𝑘[𝐴][𝐵]
𝑑𝑥
= 𝑘[𝛼 − 𝑎(𝑡)][𝛽 − 𝑏(𝑡)]
𝑑𝑡
* Debido a la Ley de la Conservación de la Masa de Lavoisier, se puede garantizar
que la cantidadde C en cierto instante es igual a la suma de las cantidades que
han reaccionado de A y B.
* Por lo tanto, si se requieren M gramos de A y N gramos de B para producir una
cantidad de M+N de C, entonces se puede decir que las cantidades consumidas de
A y B en un cierto tiempo están dadas por:
𝑀
𝑎(𝑡) = (
) . 𝑥(𝑡)
𝑀+𝑁
𝑁
𝑏(𝑡) = (
) . 𝑥(𝑡)
𝑀+𝑁
Solución:
En general para obtener X gramos de C
2
𝑎(𝑡) =𝑥(𝑡)
3
1
𝑏(𝑡) = 𝑥(𝑡)
3
La rapidez de formación del compuesto C está definida por
𝑑𝑋
2
𝑥
∝ (10 − 𝑥)(20 − )
𝑑𝑡
3
3
Para simplificar las operaciones algebraicas, sacaremos a 2/3 como factor común
del primer término, 1/3 del segundo e introduciremos la constante de
proporcionalidad:
𝑑𝑋
3
= 𝑘 (( ) (10) − 𝑥) ((3)(20) − 𝑥) = 𝑘(15 − 𝑥)(60 − 𝑥)
𝑑𝑡
2

Separamos variables e integramos haciendo uso de fraccionesparciales:
∫

𝑑𝑥
= 𝑘 ∫ 𝑑𝑡
(15 − 𝑥)(60 − 𝑥)

1
𝐴
𝐵
=
+
(15 − 𝑥)(60 − 𝑥) (15 − 𝑥) (60 − 𝑥)
1 = 𝐴(60 − 𝑥) + 𝐵(15 − 𝑥) = 𝐴60 − 𝐴𝑥 + 15𝐵 − 𝐵𝑥
Ecuaciones: 60A + 15B = 1 y - A – B = 0; despejando B= - A;
y sustituyendo en la ecuación resulta: A = 1/45 y B = -1/45

∫

𝐴𝑑𝑥
𝐵𝑑𝑥
1
1
+∫
= − 𝐿𝑛(15 − 𝑥) + ln(60 − 𝑥) = 𝑘𝑡 + 𝐶1
(15 − 𝑥))
(60 − 𝑥)
45
45

−

1
1
1
60 − 𝑥
60 − 𝑥
𝐿𝑛(15 − 𝑥) + ln(60 − 𝑥) =
𝑙𝑛 (
) = 𝑙𝑛 () = 45𝑘𝑡 + 𝐶1
45
45
45
15 − 𝑥
15 − 𝑥

60 − 𝑥
60 − 𝑥
(
) = 𝑒 45𝑘𝑡+𝐶1 = (
) = 𝐶2 𝑒 45𝑘𝑡
15 − 𝑥
15 − 𝑥

Hay dos condiciones, puesto que el químico C no está presente inicialmente,
tenemos que x=0 en t=0
(

60 − 0
) = 𝐶2 𝑒 45𝑘(0) ∴ 𝐶2 = 4
15 − 0

Y en x=6 en t=20
60 − 6
1
3
(
) = 4𝑒 45𝑘(20) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑙𝑛 ( ) = 45𝑘 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 0.02027 = 45𝑘
15 − 6
20
2

Sustituyendo y despejando “x” obtenemos:...