Tarea Física I

Dos cuerpos A y B se desplazan por una carretera rectilínea con aceleraciones respectivas aA y aB, en la dirección positiva de un eje X. En t=0, A se encuentra con velocidad V0A [m/s] en X=0, y B se encuentra con velocidad V0B [m/s] en X=d [m], d>0.

* Obtenga la o las expresiones para el tiempo t cuando A alcanza a B, o cuando A es alcanzado por B.
Como:

* XA = X0A + V0At + 1/2aAt2
XA = 0 + V0At + 1/2 aAt2

* XB = X0B + V0Bt + 1/2 aBt2
XB = d + V0Bt + 1/2 aBt2

Entonces, ahora se iguala XA con XB:
* V0At + 1/2 aAt2 = d + V0Bt + 1/2 aBt2
1/2 aAt2 - 1/2 aBt2 + V0At - V0Bt - d = 0 /*2
aAt2 - aBt2 + 2 V0At - 2V0Bt -2d = 0
(aA - aB) t2 + (2V0A - 2V0B) t - 2d = 0 → ecuación cuadrática
Como x=-b±b2-4ac2a; entonces:
* -(2V0A - 2V0B) ± [(2V0A- 2V0B)2 - 4(aA - aB) * - 2d]
2(aA - aB)

-2(V0A - V0B) ± [(4 V20A - 8 V0A V0B + 4 V20B) -8(-aAd + aBd)]
2(aA - aB)

-2(V0A - V0B) ± [4(V20A - 2 V0A V0B + V20B) - 8(-aAd + aBd)]
2(aA - aB)

-2(V0A - V0B) ± 2[(V0A - V0B)2 - 2(-aAd + aBd)]
2(aA - aB)
Por lo tanto, las ecuaciones obtenidas son dos, pues una es con signo positivo y la otra con signo negativo:
- (V0A -V0B) ± [(V0A - V0B)2 - 2(-aAd + aBd)]
(aA - aB)

* Suponga que para d=32[m] y V0A - V0B = 8 [m/s], el tiempo t calculado en el punto anterior, está dado por:
t = -8[1±[1+ aA - aB ]
(aA - aB)

Grafique t en función de aA/B = aA - aB. Analice e interprete.

Primero, comprobaremos lo realizado en el punto anterior, pues igualaremos la ecuación obtenida con la planteada en esteapartado. Entonces:

- (V0A - V0B) ± [(V0A - V0B)2 - 2(-aAd + aBd)] = -8[1±[1+ aA - aB ]
(aA - aB) (aA - aB)
Entonces, reemplazamos con los valores dados en este punto, es decir, d=32[m] y V0A - V0B = 8 [m/s]. Por lo tanto:
- (8) ± [(8)2 - 64(-aA + aB)] = -8[1 ± [1+ aA - aB ]
(aA - aB) (aA - aB)

- 8 ± [64 - 64(-aA + aB)] = -8[1 ± [1+ aA - aB ]
8 ±[64 (1 - (-aA + aB))] = -8 ± 8 [1+ aA - aB ]
8 ± 8 [1+ aA - aB ] = -8 ± 8 [1+ aA - aB ]

Con lo anterior, se comprueba que la ecuación obtenida en el primer punto, es igual a la dada, pues ambas representan tiempo.

A continuación, las gráficas obtenidas de t en función de aA/B y su análisis:
* y= -8[1-[1+ X ]; ecuación con signo negativo. Con aA - aB = X; con t = Y
XDe este grafico, se puede desprender que cuando la diferencia de aceleraciones se encuentra en el rango entre -1 y 0, el tiempo de alcance aumenta.
Cuando las diferencias de las aceleraciones es 0, es decir, llevan la misma aceleración los móviles A y B, la función se indefine, por lo tanto, no puede ser aA/B = 0.
En el intervalo de aA/B entre ]0,+∞[, podemos desprender que la diferenciade aceleración entre el móvil A y B aumenta, disminuyendo el tiempo de alcance entre los móviles.
En el intervalo [-1,0[, podemos desprender que la aceleración del móvil B es mayor que la del móvil A, reflejándose aquello en que el tiempo de alcance irá aumentando.
Ejemplo 1: aA - aB = -(1/2)
Ya que – (1/2) se encuentra en el intervalo [-1,0[, entonces se obtendrá que:
aA + (1/2) =aB
Entonces, aB será mayor que aA en el intervalo [-1,0[


Ejemplo 2: aA - aB = 2
aA = 2 + aB
Como 2 Ɛ]0,+∞[; entonces, podemos decir que la aceleración de A será mayor que la aceleración de B en dicho intervalo.
Cuando aA/B = -1, el tiempo de alcance será de 8 segundos. Según el análisis del grafico, este será el mayor tiempo de alcance posible.
La aceleración de B no podrá sermayor a la de A en más de 1 [m/s2], ya que en este caso los móviles jamás se alcanzaran. El móvil A tiene una velocidad inicial de 8 [m/s] más que la velocidad inicial de B. Entonces, si el móvil B tuviese una aceleración de 1 [m/s2] mayor a la aceleración de A, este ultimo de igual forma dará alcance al móvil B en 8 segundos; tiempo en que ambos móviles se encontraran con igual velocidad. Por...