tarea matematica

Vamos a ver en esta sesión varios ejemplos de una de las actividades más fructíferas de las matemáticas como es la generalización.

Los orígenes. El número de oro.
La proporción áurea está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.III a.C.), en una construcción geométrica denominada División de un segmento en media y extrema razón. La idea es tan simple como perfecta: El todo se divide endos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas. En un segmento de longitud unidad tenemos

De la definición , de donde , ecuación de 2º grado de soluciones , tomando la solución positiva la razón de la proporción es: = nº áureo
La figura plana que mejor representa la idea de proporciónen el plano es el rectángulo. El rectángulo áureo es aquel que tiene la medida de sus lados en esa proporción. Para construir el rectángulo áureo se parte de un cuadrado ABCD, por el punto medio M de uno de sus lados, se traza el segmento que lo une con uno de los vértices del lado opuesto, D, que se abate circularmente sobre la prolongación del lado AB obteniéndose así el lado mayor delrectángulo siendo el menor el lado del cuadrado (figura 1)


figura 1


figura 2
La íntima relación existente entre la sucesión de Fibonacci y la razón áurea queda de manifiesto en la siguiente fórmula explícita para el n -ésimo término de Fibonacci: ; mientras que el n-ésimo término de la sucesión de Lucas es

La sucesión de Fibonacci se puede “visualizar” mediante una sucesión de cuadradosque crece en espiral (ver figura 4). El cuadrado inicial (en gris) tiene de lado 1, al igual que su vecino de la izquierda. Sobre estos dos primeros cuadrados se superpone un cuadrado de lado 2, seguido a su vez por cuadrados de lados 3, 5, 8, 13, 21, y así sucesivamente, se van obteniendo rectángulos que se van aproximando cada vez mejor a un rectángulo áureo. Si en el interior de cada cuadrado setraza un cuadrante de circunferencia, estos arcos quedan conectados y forman una elegante espiral. Dicha espiral constituye una buena aproximación de la llamada espiral logarítmica, que es frecuente encontrar en la naturaleza.

figura 4

Otra espiral asociada al número áureo es la de Durero. En la siguiente figura (figura 5) al rectángulo áureo ABCD se le quita el mayor cuadrado posible ABFEel rectángulo sobrante EFCD también es áureo, repetimos la operación y a éste rectángulo le quitamos el mayor cuadrado posible EHGD el rectángulo restante HFCG es áureo y así sucesivamente

figura 5
Uniendo vértices de los cuadrados auxiliares con arcos de circunferencia, se forma la curva llama “Espiral de Durero”, ya que la descubrió y utilizó ese pintor italiano. Esta espiral es casi unaespiral logarítmica (ésta se construye trazando sucesivos triángulos rectángulos semejantes, de tal forma que la hipotenusa de uno es un cateto del siguiente; y uniendo los vértices consecutivos) de salto angular 90 grados y razón geométrica el número de oro. La única diferencia, inapreciable a pequeña escala es que los centros de esos arcos van saltando a su vez de un vértice a otro de losrectángulos.


Números metálicos
La familia de los números metálicos es un conjunto infinito de números irracionales cuadráticos positivos, descubierta por la matemática argentina Vera G. de Spinadel (1929 –) en 1994. Son las soluciones positivas de las ecuaciones cuadráticas del tipo , donde tanto p como q son números naturales. A sus soluciones positivas se les conoce por los númerosmetálicos denotados por Estas ecuaciones van asociadas a las sucesiones de Fibonacci generalizadas

Comenzaremos un estudio más detallado con los casos particulares que se obtienen al ir variando sólo uno de los dos parámetros p; q
Consideremos pues en primer lugar el grupo de ecuaciones:
● Si p = 1 tenemos la ecuación , de solución positiva , es decir obtenemos el número de oro
● Si p...