Tarea metodos numericos


Dada la función:


1. Represente gráficamente la función.



2. Elabore una tabla de 13 datos igualmente espaciados (12 particiones).
Esta tabla se elabora con el mismo programa “graf.m”.
Abscisa inicial= 0
Abscisa final= 2
Número de intervalos= 12
Digite la función f(x)= '1+sin(x^2)'
>> [X' Y']

ans =
0 1.0000
0.1667 1.0278
0.3333 1.11090.5000 1.2474
0.6667 1.4300
0.8333 1.6400
1.0000 1.8415
1.1667 1.9781
1.3333 1.9787
1.5000 1.7781
1.6667 1.3558
1.8333 0.7822
2.0000 0.2432

3. Calcule la integral entre 0 y 2 de la función usando fórmulas de Newton-Cotes (las 3).
%Programa para integrar una función de una variable por las reglas de Newton-Cotes
clearall
xi=input('Valor inicial= ');
xf=input('Valor final= ');
% El número de intervalos debe ser múltiplo de 6 de tal manera que se apliquen los tres métodos
N=input('Número de intervalos= ');
h=(xf-xi)/N;
f=input('Digite la función f(t)= ');
% Se generan los vectores de abscisas y ordenadas
for i=1:N+1
x(i)=xi+h*(i-1);
t=x(i);
y(i)=eval(f);
end
% Se generan la integral IT yel error ET por la regla del trapecio
IT=0;
ET=0;
for i=1:N
IT=IT+(h/2)*(y(i)+y(i+1));
end
for i=2:N
ET=ET-(h/12)*(y(i-1)-2*y(i)+y(i+1));
end
IT
ET
% Se generan la integral IS1 y el error ES1 por la regla del Simpson 1/3
IS1=0;
ES1=0;
for i=1:N/2
IS1=IS1+(h/3)*(y(2*i-1)+4*y(2*i)+y(2*i+1));
end
for i=3:N-1
ES1=ES1-(h/90)*(y(i-2)-4*y(i-1)+6*y(i)-4*y(i+1)+y(i+2));end
IS1
ES1
% Se generan la integral IS3 y el error ES3 por la regla del Simpson 3/8
IS3=0;
ES3=0;
for i=1:N/3
IS3=IS3+(3*h/8)*(y(3*i-2)+3*y(3*i-1)+3*y(3*i)+y(3*i+1));
end
for i=3:N-1
ES3=ES3-(3*h/80)*(y(i-2)-4*y(i-1)+6*y(i)-4*y(i+1)+y(i+2));
end
IS3
ES3









Este algoritmo genera:

Valor inicial= 0
Valor final= 2
Número de intervalos= 6
Digite la funciónf(t)= '1+sin(t^2)'

IT = 2.7795 (regla del trapecio)
ET = 0.0340

IS1 = 2.8104 (regla de Simpson 1/3)
ES1 = -0.0014

IS3 = 2.8190 (regla de Simpson 3/8)
ES3 = -0.0048

4. Efectúe interpolación cúbica por segmentos para 5 datos igualmente espaciados y calcule la integral.

El algoritmo es el siguiente:
%programa para efectuar interpolación cúbica por segmentos para datos%no igualmente espaciados
clear all
%Entrada de información
n=input('Número de datos= ');
x=input('Vector de abscisas= ');
y=input('Vector de ordenadas= ');
W1=input('Segunda derivada al principio= ');
WN=input('Segunda derivada al final= ');
%Cálculo de los tamaños de paso
for i=1:n-1
h(i)=x(i+1)-x(i);
end
%Cálculo de las segundas diferencias divididas
for k=1:n-2b(k)=6*((y(k+2)-y(k+1))/h(k+1)-(y(k+1)-y(k))/h(k));
end
%Sistema de ecuaciones para hallar las segundas derivadas, desde w(2) hasta w(n-1)
% M*W=B
M(1,1)=2*(h(1)+h(2));
M(1,2)=h(2);
B(1)=b(1)-h(1)*W1;
M(n-2,n-3)=h(n-2);
M(n-2,n-2)=2*(h(n-2)+h(n-1));
B(n-2)=b(n-2)-h(n-1)*WN;
for k=2:n-3
M(k,k-1)=h(k);
M(k,k)=2*(h(k)+h(k+1));
M(k,k+1)=h(k+1);
B(k)=b(k);
end
aux=inv(M)*B';W(1)=W1;
W(n)=WN;
for j=2:n-1;
W(j)=aux(j-1);
end
%Cálculo de las primeras derivadas
for k=1:n-1
U(k)=(y(k+1)-y(k))/h(k)-(h(k)/6)*(2*W(k)+W(k+1));
end
% Cálculo de los coeficientes de los polinomios
for k=1:n-1
c(k,1)=(W(k+1)-W(k))/(6*h(k));
c(k,2)=W(k)/2-3*x(k)*c(k,1);
c(k,3)=U(k)-x(k)*W(k)+3*c(k,1)*x(k)^2;
c(k,4)=-c(k,1)*x(k)^3+(x(k)^2)*W(k)/2-x(k)*U(k)+y(k);
end%Representación gráfica de los polinomios
for i=1:n-1
t(i,:)=x(i):0.01*h(i):x(i+1);
p(i,:)=c(i,1).*(t(i,:).^3)+c(i,2).*(t(i,:).^2)+c(i,3).*t(i,:)+c(i,4);
plot(t(i,:),p(i,:),'k')
grid on
hold on
end
plot (x,y,'o')
for j=1:n-1
for i=1:4
s(i)=c(j,i);
end
disp(strcat('p',num2str(j),'=',poly2str(s,'t')));
end
%Rutina para integrar
I=0;
for i=1:n-1...