Tarea simplex

1.
Para los siguientes ejercicios:
Identifique las varibles de solución.
Establezca el modelo matemático que representa el problema.
Solucione el modelo por el método gráfico
Obtenga una segunda solución por medio del método símplex, presentando cada una de las iteraciones requeridas para la solución.
Realice el análisis de sensibilidad del problema, explique qué significan losresultados obtenidos.
1.1.
Un candidato a alcalde de un pequeño pueblo asignó $40.000 para publicidad de último minuto en los días previos a la elección. Se utilizarán dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de televisión, que cuesta $500, afectará a unas 7000 personas. Al planificar la campaña depublicidad, la directora de ésta desea llegar a tantas personas como sea posible, y estipuló que se deben utilizar, por lo menos, 10 anuncios de cada tipo. Además, el número de anuncios de radio debe ser por lo menos igual al número de anuncios de televisión. ¿Cuántos anuncios de cada tipo se deberán utilizar? ¿A cuántas personas llegarán?
Variables de solución
X_r=anuncios de radio
X_t=anuncio detelevision
z=utilidad en cantidad de personas a las que llega
Modelo matemático
El número de anuncios de radio y televisión para maximizar está dado por
z=3000X_r+7000X_t
Sujeto a
200X_r+〖500X〗_t≤40000 (1)
X_r-X_t≥0 (2)
X_r≥10 (3)
X_t≥10 (4)Método gráfico
Al graficar las ecuaciones 1, 2, 3 y 4, se obtiene dos puntos de posibles soluciones, A y B. La primera es la intersección de la recta 1 con la recta 2, mientras que la segunda es un intersección de la recta 1 con la recta 4. Para encontrar la solución óptima, se tantea con valores arbitrarios de z hasta encontrar una tendencia de rectas hasta la solución. A continuación, en elGráfico 1, se muestran las intersecciones, los puntos y las rectas que indican la dirección de z.
De los dos puntos extremos del área de solución, de acuerdo al método gráfico y a la dirección de la función objetivo, indicada por la flecha roja se tiene que el más óptimo es el B. La siguiente Tabla 1, muestra los valores de las intersecciones de las rectas, la utilidad resultante para cada punto y lacantidad de personas a las que se llega.
Tabla 1: Intersecciones de las rectas y sus resultados
Xr Xt Z
A 57.14 57.14 571429
B 175 10 595000

La solución más óptima es el punto B. De este modo, se requieren 175 comerciales de radio y 10 de televisión para llegar a la cantidad máxima de 595000 personas, cumpliendo con el presupuesto de $40000.
Método Simplex
A partir de las siguientesecuaciones, siendo S1, S2, S3 y S4 variables de holgura, se procede a resolver el problema con el método simplex. La siguiente tabla presenta las ecuaciones planteadas y las iteraciones hasta llegar al problema final.
z-3000X_r-7000X_t=0
200X_r+500X_t+S_1=40000
X_r-X_t-S_2=0
X_r-S_3=10
X_t-S_4=10
X_r,X_t,S_1,S_2,S_3,S_4≥0

Tabla 2: Iteraciones para el problema 1.1
Tabla inicial Variablebásica Z Xr Xt S1 S2 S3 S4 Solución
Z 1 -3000 -7000 0 0 0 0 0 Intersecciones
S1 0 200 500 1 0 0 0 40000 80
S2 0 1 -1 0 -1 0 0 0 0
S3 0 1 0 0 0 -1 0 10 Indefinida
S4 0 0 1 0 0 0 -1 10 10

Iteración 1 Variable básica Z Xr Xt S1 S2 S3 S4 Solución
Z 1 -3000 0 0 0 0 -7000 70000 Intersecciones
S1 0 200 0 1 0 0 500 35000 70
S2 0 1 0 0 -1 0 -1 10 -10
S3 0 1 0 0 0 -1 0 10 IndefinidaXt 0 0 1 0 0 0 -1 10 -10

Iteración 2 Variable básica Z Xr Xt S1 S2 S3 S4 Solución
Z 1 -200 0 14 0 0 0 560000 Intersecciones
S4 0 0.4 0 0.002 0 0 1 70 175
S2 0 1.4 0 0.002 -1 0 0 80 57.14285714
S3 0 1 0 0 0 -1 0 10 10
Xt 0 0.4 1 0.002 0 0 0 80 200

Iteración 3 Variable básica Z Xr Xt S1 S2 S3 S4 Solución
Z 1 0 0 14 0 -200 0 562000 Intersecciones
S4 0 0 0 0.002 0 0.4 1 66...