Tarea Tipo 1 IB

Colegio Alemán Humboldt


Carlos Andrés García Vélez
Tarea tipo 1:
Círculos


Código IB:


Guayaquil, Ecuador


Introducción
Un círculo es una curva perfectamente cerrada, en la que todos los puntos están equidistantes de un punto fijo dentro de la curva, al que se llama centro.

Descripción
La siguiente figura muestra un círculo C1 con centro O y radio r, y un punto Pcualquiera.


Objetivos de la tarea:
El propósito de esta tarea es investigar las posiciones de puntos ubicados en círculos que se cortan. Es decir que con el gráfico de la imagen 1, hacer varias pruebas para determinar la distancia que tiene el segmento con diferentes medidas del radio r y del segmento . Todo esto para al final poder llegar a una propuesta de una fórmula general con la cual sepueda determinar el segmento con cualquier medida de r y de .

Sea r = 1. Mediante un método analítico, halle OP´cuando OP = 2, OP = 3 y OP = 4. Describa lo que observa y escriba una proposición general que represente lo observado:
Resolución:
Con los datos que nos entrega la Imagen 1 determinare la longitud del segmento cuando r=1 y con diferentes mediadas de . Por medio de un métodoanalítico:











El segmento OP mide lo mismo que el segmento AP, ya que los dos segmentos son el radio del círculo C2, por lo tanto es un triángulo isósceles. Luego aplique el teorema del coseno c2=a2+b2-2abcos(γ) para encontrar el ángulo γ. Trato de encontrar este ángulo porque es el que me va a servir para determinar OP´










Una vez encontrado el ángulo γ utilizo laley del coseno otra vez en el triángulo OAP´ sabiendo que, como es un triángulo isósceles, el ángulo va a ser la resta entre 180° y 2 veces ángulo. De este modo, al remplazar los datos en la ley de coseno y luego de resolverla determino OP´.









Para poder obtener OP´ debemos encontrar primero el ángulo
Para determinar el ángulo tenemos que aplicar la ley del coseno cuando:OP=2
r= 1
AP=2

a=2 b=1 c=2




= )
= 75,52
Después de determinar el ángulo podemos empezar a trabajar con el triángulo OAP´ (que también es un triángulo isósceles como dije antes)
Como ya conocemos el ángulo y sabemos que el triángulo OAP´ es isósceles podemos decir que el ángulotambién toma el valor de
Ahora el ángulo que queremos determinar para poder encontrar el valor de OP´ es
Para poder determinar solo tenemos que restar

Ahora que conocemos todos los ángulos del triángulo OAP´ podemos utilizar la ley del coseno para determinar OP´





A continuación muestro los resultados de con los diferentes valores de r. Obtenidos mediante el método yaexplicado.
Tabla 1: valores de , dependiendo de distintos valores de , cuando r = 1. Determinados analíticamente. (Resultados aproximados):


2
0.5
3
0.33
4
0.25



Observaciones y conclusiones de la tabla
Con los datos de la tabla puedo ver que entre más alto es el valor de , menor es el valor de y que entre mas se aproxima al valor de r, se va haciendo mayor. Esto también se puedeconfirmar con la gráfica en la cual se ve que entre más alto es el valor de (eje X) más bajan los puntos que representan a (eje Y). Pero cuando es menor que r, es decir >1, el segmento se vuelve mayor que ,
No puede ser menor que r para que haya un segmento . Además finalmente logre ver que en este caso el resultado de es el resultado de la división entre el radio, en este caso 1, y . Conestas observaciones concluyo que depende de , de forma que al éste ser mayor, será menor y viceversa, siempre y cuando sea mayor o igual que r. Al final comprobando los datos de la tabla con los datos que me entrega el programa Geogebra, noté que son correctos los datos obtenidos.


Sea OP = 2. Halle OP´, cuando r = 2, r = 3, r = 4. Describa lo que observa y escriba una proposición...