Tarea tipo 1 matemáticas nm números estelares

Introducción:
La siguiente tarea que trata sobre los números triangulares y estelares tiene como finalidad encontrar una fórmula que demuestre como se pueden calcular los números estelares y triangulares, en esta tarea se van a encontrar proposiciones que pueden ayudar al mejor entendimiento de esta expresión matemática por medio de la explicación de esta misma.
En el trabajo siguiente lo quese observara son comportamientos en el crecimiento de los números triangulares, que son números que se pueden organizar formando un triangulo equilátero usando puntos, y estelares, que son números obtenidos a partir de la suma de puntos en un diagrama con forma de estrella, posteriormente.


El siguiente diagrama es una representación de los números triangulares en las posiciones 1, 2, 3, 4,5, 6, 7y 8 con su respectivo valor debajo de cada triangulo equilátero.

Como se puede notar es una tendencia de suma porque al valor anterior se le suma la cantidad de la última fila (f) más 1, o sea v+f+1= Sn donde v es el valor del triangulo anterior y Sn es el valor del triangulo (se aclara que n es el valor de la posición del triangulo)
Esto se puede comprobar haciendo las operacionesrespectivamente 1+1+1=3, 3+2+1=6 , 6+3+1=10……..28+7+1=36 Por ende v+f+1=Sn
Como se puede notar el valor de f actual es el anterior valor de f+1 osea que si el valor anterior de f era 5 el actual va a ser 6 cuando hablamos de la posición 6 del triangulo. Como se puede notar el valor de n es igual al valor de la última fila de el triangulo entonces la proposición anterior podría escribirse de lasiguiente manera:
v+n=Sn
Esta proposición es válida, sin embargo no se podría operar en función de n y por ende esta limitación le impediría servirnos en esta tarea.
Por ende al tener la posición ya tenemos n, y como se sabe que el triangulo tiene un orden creciente de la cantidad de puntos en una fila podemos determinar que es una sumatoria, ahora toca identificar el patrón de la sumatoria. Paraencontrar este patrón recurro otra vez a la proposición inicial v+f+1= Sn la cual nos dice que el valor de la última fila del triangulo anterior es una unidad menor que el actual, en otras palabras que n-1=f, por lo consiguiente ya se determina que la sumatoria es del valor anterior menos 1, entonces si n=3 seria 3+2+1=6 y S3=6 por ende si es correcto afirmar esto.
Ahora podríamos decir que loanterior es una progresión aritmética, y la formula de las progresiones aritméticas son:
an = a1 + (n - 1) · d
Donde, en este caso, a1=1, n=1 y d=1
Sin embargo esta fórmula aritmética de las progresiones nos da el valor de la última fila, n, el cual ya tenemos, y nosotros necesitamos es la sumatoria de los puntos siguiendo la progresión.
Por ende la formula a usar seria:

Que es la fórmula dela suma de una progresión.
Hora vamos a comprobar si la formula es aplicable
S8=(1+n)2×n
S8=(1+8)2×8
S8=36
Como se puede notar la formula se pudo comprobar con respecto al número triangular 36 que se encuentra en la posición 8 como se puede demostrar en el diagrama de los números triangulares al principio de esta tarea.
Ahora vamos a escribir una proposición general de los númerostriangulares en función de n teniendo en cuenta que se puede resolver por medio de la sumatoria de las progresiones aritméticas, teniendo en cuanta que en los números triangulares como progresión, el primer valor de la progresión va a ser 1.Para este caso usaremos la expresión Tn como numero triangular en la posición n
Tn=n+12×n
Ahora vamos a aplicarla en un numero Triangular diferente, donde n=15Tn=n+12×n
T15=15+12×15
Tn=105

Diagrama del número triangular T15

T15=105
Un número estelar es una figura de P vértices en forma de estrella, hora les vamos a mostrar las primeras 4 etapas de el numero 6-estelar.

Ahora vamos a colocar las etapas S5 y S6

S5 S6

S1=1...