Tarea - topología

Introducción a la Topología Instituto de Profesores Artigas – Semi Presencial

Actividad 11

Ejercicio 2.19.7 Sea R∞ el subconjunto de Rω formado por todas las sucesiones que son “finalmentecero”, esto es, todas las sucesiones (x1,x2,…) tales que xi≠0 sólo para un número finito de valores de i. ¿Cuál es la clausura de R∞ en Rω en las topologías por cajas y producto? Justifique su respuesta.1) En la topología por cajas en Rω, probaremos que R ∞ = R ∞ . Considero x = ( x1 , x 2 ,.....) una sucesión de R ω − R ∞ Sean ( ai , bi ) abiertos tal que x i ∈ ( ai ,bi ) y 0 ∉ ( ai ,bi ) si x i ≠0 , entonces

x ∈ ∏ ( ai ,bi ) = B (abierto) y B ⊂ R ω − R ∞ .
En conclusión para cada elemento de R ω − R ∞ encontré un abierto B que lo contiene y

B ⊂ R ω − R ∞ , por lo tanto R ω − R ∞ esabierto. Ahora, R ω − R ∞ = R ∞
un conjunto cerrado y su clausura coincide con él.

( )

c

por lo que R ∞ es

2) En la topología producto, sea U =

∏U

α

una base de abiertos.

Uα = Rpara un número finito de subíndices.
Para α ≠ β1 , β2 ,...βn

Uβi = (ai ,bi ) , sea x = ( x1 , x 2 ,.....) ∈ R ∞ tal que x i ∈ ( ai ,bi ) si ( ai ,bi ) ≠ R y x i = 0 si

( ai ,bi ) = R .
/ Porlo tanto x ∈ R ∞ ∩ U ⇒ U ∩ R ∞ ≠ 0 , entonces R ∞ ⊂ R ω ⇒ R ∞ = R ω

Javier Valle

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Actividad 11

Ejercicio 2.19.8Dadas las sucesiones (a1,a2,…) y (b1,b2,…) de números reales con ai>0 para todo i, definamos h: Rω→ Rω mediante la ecuación h((x1,x2,…))=(a1x1+b1,a2x2+b2,…) Pruebe que si Rω está dotado con latopología producto, h es un homeomorfismo de Rω consigo mismo. ¿Qué ocurre si Rω está dotado con la topología por cajas?

h((x1,x2,…))=(f1,f2,…) fα: R→R / fα(t)=aαt+bα En R, fα es continua (porcomposición de continuas), entonces por el teorema 19.6 h es continua. fα-1: R→R / fα-1(t)=

t − bα , aα > 0 (aα ≠ 0) aα

En R, fα-1 es continua, entonces por el teorema 19.6 h-1 es continua.

Por lo...