Tarea

Derrama de fluidos
Si tuviésemos un depósito conteniendo a un líquido que escapa por un orificio del depósito (no existe flujo de entrada); entonces:
Puesto que la altura de carga varía conel tiempo, sabemos que  , es decir el flujo no es estacionario. Esto significa que la ecuación de energía debe corregirse introduciendo un término de aceleración, que complica mucho la solución. En tanto laaltura de la carga no varíe demasiado rápido no se producirá un apreciable error el suponer el flujo estacionario y, por consiguiente, despreciar el termino de carga de aceleración.
Sean V(t) y h(t)el volumen de agua en el deposito y la altura del liquido por encima del orificio, en un instante t después de empezado el proceso:
Por Torricelli sabemos que:

Pero la diferencial del volumentambién se puede expresar de la siguiente manera:
dV = A(h)*d(h)
Entonces quedaría:

Tendríamos una relación entre la altura y el tiempo.
Ejercicios
1) Una fábrica de papel esta situada cerca de unrío con fluido constante de 100 m3/seg.; el cual va a dar a la única entrada de un lago de volumen 109 m3. Suponga que en el instante t = 0, la fabrica de papel empieza a bombear contaminantes al río arazón de 1 m3 por segundo; y que la entrada y salida del lago son constantes e iguales ¿cual será la concentración de contaminantes en el lago al cabo de un tiempo t?

Solución:
Sea X (t) lacantidad de sal que hay en el tanque en el instante t; entonces la velocidad de entrada de sal al tanque en el instante t es:

También en el instante t, la cantidad de líquido en el tanque es de:

Laconcentración es de:

La velocidad de salida de la sal es de:

Luego nuestra ecuación diferencial es:

Para resolverla consideremos la ecuación Homogénea:

Que se puede escribir:

La soluciónde la homogénea es:

Haciendo variar la constante: c = c (t) y reemplazando en la no homogénea tenemos:

Por lo tanto:

Como x (0) = 0, tenemos c =10006, y entonces nuestra solución es:...