Tarea

LOS NUMEROS:  e , PI , i
Sin duda, los tres números más famosos y que más atracción han despertado son: p, e, y i
* El número p se ha estudiado durante siglos, y no es más que la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro:
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* El número e, más tardío, es el límite de la sucesión de término general.
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es decir,

* La unidad imaginaria i, se introdujo para poder dar solución a la ecuación  x2 + 1 = 0
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A pesar de tener un origen tan dispar, los tres números se relacionan mediante una expresión extremadamente sencilla:

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Esta igualdad se deduce de la expresión exponencial de losnúmeros complejos:
 
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LA UNIDAD IMAGINARIA
Llamamos unidad imaginaria al número Ö- 1, que se representa con el símbolo i
De esta manera, tenemos que:  i = Ö- 1  o    i2 = - 1
Con la unidad imaginaria i se pueden realizar operaciones ( suma, resta, multiplicación, etc.) de manera similar a la de la familiar X de los polinomios. Con una sola excepción:  i2 = -1
Se admiten, por tanto,manipulaciones como las que siguen:
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NUMEROS COMPLEJOS
Se llama número complejo a una expresión de la forma a + bi, donde a y b son números reales.
El número a se llama parte real. El número b se llama parte imaginaria. 
5 + 3i  (5 es la parte real, 3 la parte imaginaria)
-7 + 4i  (- 7 es la parte real, 4 la parte imaginaria)
-1 -  i    (- 1 es la parte real, - 1 la parte imaginaria)Son casos especiales los complejos que tienen la parte real o imaginaria nula:
Si b = 0, el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a. 
Si a = 0, el número complejo se reduce a bi; se dice que es un número imaginario puro.
Si a = 0 y b = 0, resulta el número complejo 0 + 0i, que se llama número complejo cero, y se escribe 0.
Dos números complejos son iguales si lo son laspartes reales e imaginarias, respectivamente.
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Se llama conjugado de z = a + bi al número complejo z definido por z = a - bi.

LOS REALES COMO SUBCONJUNTO DE LOS COMPLEJOS
  Al conjunto de los números complejos lo denotaremos C.
Todo número real se puede considerar como un número complejo con parte imaginaria cero:
a = a + 0 i 
Por tanto el conjunto de los números reales es unsubconjunto de los complejos:
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SUMA Y RESTA
Queremos sumar los números complejos 3 - 2i  y  5 + 6i:
(3 - 2i) + (5 + 6i) = 3 + 5 - 2i + 6i = 8 + 4i
Análogamente procederemos para restar el número complejo 4 - 7i de otro complejo 6 - 5i:
(6 - 5i) - (4 + 7i) = 6 - 4 - 5i - 7i = 2 - 12i
Partiendo de estos ejemplos, se puede generalizar y decir que se suma (o se resta) parte real con parte real, yparte imaginaria con parte imaginaria:
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MULTIPLICACION
Para multiplicar complejos, se aplica la propiedad distributiva como si se tratara de números reales; debe tenerse en cuenta que :   i = Ö-1 ,  i2 = -1
( 3 + 4 i ) · ( 2 - 5 i ) = 26 - 7 i 
En general, se tiene que:
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( 3 + 4 i ) · ( 2 - 5 i ) = [ 3 · 2 - 4 · (- 5) ] + [ 3 · (- 5) + 4 · 2 ] i = 26 - 7 i
Observación:
Elproducto de un número complejo por su conjugado, es un número real:
( a + bi ) · ( a - bi ) = a2 + b2  
( 2 + 3 i ) · ( 2 - 3 i ) = 4 + 6 i - 6 i - 9 i2 = 4 + 9 = 13
DIVISION
Para dividir el número complejo 5 + 15i entre el número complejo 2 + i: 
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multiplicaremos numerador y denominador por el conjugado del denominador; así, el resultado no se altera y, además, el divisor pasa a serun número real:
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En general:
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INVERSO DE UN NUMERO COMPLEJO
Recuerda  que  el  inverso  de  un  número   N   es  otro  número   N'   tal  que  su  producto de 1:      N · N' = 1
El inverso del número complejo a + bi es:
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ya que:
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POTENCIACION

Para calcular (a + bi)n, podemos aplicar la propiedad distributiva y operar como en las expresiones...