tarea

Llull, vol. 8, 1985, 5-19

UN INEDITO DE ROBERVAL SOBRE
EL LIBRO V DE LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES
Y SU TRANSMISION HACIA ITALIA (1645) *

JEAN CASSINET
Toulouse (Francia)

RESUMEN

ABSTRACT

El registro de manuscritos n°
1531 de la Biblioteca Municipal
de Toulouse (Francia) contiene
11 copias de textos de Fermat
efectuadas en 1644-45 por cuenta
del matemático romano MichelangeloRicci durante los viajes a
Italia de Duvendus y del padre
Mersenne.
Este registro contiene un texto inédito de G. Personne de Roberval de 39 páginas desarrollando en 22 teoremas la teon'a del orden entre razones de cantidades a
partir de la definición n° 7 del Libro V de los Elementos de Euclides. Roberval demuestra que la
relación así definida es total
(apéndice a la ddinición completada porasimétrica (Teorema
2) y transitiva (Teorema 5). Prue-

The register of manuscripts
numer 1531 of the Bibliotheque Municipale de Toulouse (France)
contains 11 copies of Fermat's
text made in 1644-45 for the roman mathematicien Michelangelo Ricci, on the travels of Duverdus and father Mersenne to Italy.
This register contains an unpublished text of G. Personne de
Roberval of 39 pages whichdevelops in 22 theorems the 'order
theory between ratios stanting
from the seventh definition of the
fifth book of Euclid's Elements.
Roberval proves that this relation
is total (appendix to the definition
completed by him), asymmetrical
(Theorem 2) and transitive (theorem 5). He proves the compability of this relation with the product

* Traducción de Mariano Hormigón Blánquez

6UN INEDITO DE ROBERBAL

ba la compatibilidad de la relación con la multiplicación por racionales (Teorema 6), la multiplicación de dos razones del mismo
denominador (Teoremas 19,20).
Muestra la relación del orden con
las operaciones habituales con razones (inversión, alternativa,
composición, división), lo que
constituye la parte no original del
texto (Teoremas 10, 11, 12, 13,
14,18). Una parte muy original
trata de la densidad del semi-grupo ordenado de razones de cantidades (Teoremas 7, 8, 9, 21), tratando el teorema 21 de las cantidades "no numéricas" y demostrado por el método de exhaución

((VH) (VK) ((A+H)/B>C/D &
(A-K)/B C/D &

(A-K)/B C/D, completada por Roberval con la de A/B < C/D; las relaciones lógicas entre estas diversas
definiciones están muy ligadasal carácter total y arquimediano del orden definido sobre el semigrupo de las magnitudes (a este respecto ver
J. Gardies y J. Cassinet Ordre total et archimédien entre grandeurs dans
les Eléments d'Euclide en Cahiers du séminaire d'Hist. des Math. de
Toulouse, 1985,7,1-11). El texto de Roberval constituye un estudio relativamente exhaustivo de la relación de orden entre razones. Recordemos ladefinición euclídea por equim ŭltiplos:
(A/B > C/D) Z, (3m)(3n)((m,n e N*) y (mA > nB) y (mC nD))
c
a la que Roberval añade (folio 93 recto)
(A/B > C/D) (3m)(3n)((m,n

E

N*) y (mA < nB) y (mC nD))

El texto de Roberval contiene 22 teoremas, en su mayor parte originales y no recogidos por los posteriores comentadores de Euclides; a
este respecto puede darse una tabla comparativa de losteoremas enunciados y demostrados por Roberval y las proposiciones correspondientes de diversas ediciones de los Elementos de Euclides.

9

JEAN CASSINET

N° de teoremas Roberval
N° de proposiciones en los
Elementos de
Euclides (I)

1.2.3.4.5.6.7.8.9.

10.11.12.13.14.15.

16.17.18.19.

20.21.22

18.

en los Elementos
Euclides (II)

.26.27.29.28.30.18.

33.

en losElementos
Euclides (III)

26.27.29.28.30.18.

33.

35

(I)

ediciones en las que el Libro V contiene 25 proposiciones (FoixCandalle (1569), Nasirad-Din (1594), Simpson (1756) y Peyrard
(1809)
(II) ediciones en las que el Libro V contiene 34 proposiciones: Campanus (1482), Tartaglia (1569), Clavius (1574), Lemandelé
(1622), Barrow (1678) ...
(III) edición A. Tacquet (1672)
Podemos...