Tarea

Pruebas de bondad de ajuste

Las pruebas de bondad de ajuste tienen por objetivo determinar si los datos se ajustan a una de- terminada distribuci´on, esta distribuci´on puede estar completamente especificada (hip´otesis simple) o perteneciente a una clase param´etrica (hip´otesis compuesta).

• Test χ2 Est´an disen˜ados para variables aleatorias discretas con un nu´mero finito devalores, si esto no ocurriese los valores de la variable se agrupan en un nu´mero finito de clases.

1. Hip´otesis nula simple H0 : X ≡ F0
Dada una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria X que toma valores en las clases C1, . . . , Ck ,sea Oi = no de individuos de la muestra en la clase Ci y sea pi = P (X ∈ Ci). Con esta formulaci´on lo que se contrasta es

0 i
H0 : pi = PF(X ∈ Ci) = p0∀i

y se puede hacer por dos procedimientos: mediante el estad´ıstico de la raz´on de verosimi- litudes o mediante el estad´ıstico de Pearson.
i
Ambos procedimientos se basan en la comparaci´on de la frecuencia observada en cada clase Oi con la frecuencia esperada bajo la hip´otesis nula Ei = np0 = no de individuos esperados en la clase Ci, bajo H0; si esta fuese cierta nodeber´ıan presentarse grandes discrepancias.

El test de la raz´on de verosimilitudes se basa en la verosimilitud de los datos agrupados

es L(O1, . . . , Ok , −→p ) = h Qk

pOi que alcanza su m´aximo cuando pi = Oi/n y si la hip´otesis

i=1 i b

i=1
i
nula fuese cierta la verosimilitud de los datos ser´ıa L(O1, . . . , Ok , −→po ) = h Qk

(p0)Oi de

i=1
donde elestad´ıstico de la raz´on de verosimilitudes es Λ(O1, . . . , Ok ) = Qk

µ 0
p
i
Oi/n

¶Oi
, y

se obtiene el siguiente estad´ıstico

k Oi
Ei
G = −2 ln Λ = 2 X Oi ln
i=1

que como se observa se basa en la comparaci´on por cociente de las frecuencias observadas y esperadas de cada clase.
En base a este estad´ıstico se define la regi´on cr´ıtica RC = {G > c} y para determinark−1
c se utiliza la distribuci´on asint´otica de G = −2 ln Λ que es χ2

, los grados de libertad

corresponden al nu´mero de pi que es necesario estimar.
La aplicaci´on de este procedimiento requiere muestras de taman˜o grande para poder utilizar la aproximaci´on asint´otica, es reconocido el criterio de que Ei ≥ 5 en al menos un 80% de las clases admiti´endose que en lo sumo un 20%de las clase se tenga 1.5 ≤ Ei ≤ 5.

El test de Pearson se basa en la comparaci´on por diferencia e las frecuencias observadas y esperadas de cada clase a partir del estad´ıstico

k
2
D = X (Oi − Ei)
Ei
i=1
En base a este estad´ıstico se define la regi´on cr´ıtica RC = {D > c} y para determinar c se

χ
utiliza la distribuci´on asint´otica de D que es 2
k−1

, al igual que en elcaso anterior.

Puede comprobarse que los dos estad´ısticos utilizados son asint´oticamente equivalentes y ambos utilizan el mismo criterio para la aproximaci´on asint´otica.
2. Hip´otesis nula compuesta H0 : X ≡ Fθ , θ ∈ Θ ∈ Rq
En este caso para aplicar cualquiera de los dos procedimientos anteriores necesito la es- timaci´on m´aximo veros´ımil del par´ametro con los datos agrupados θbpara luego calcular Ebi = nPi(θb), se construyen entonces los estad´ısticos :

k
G = −2 ln Λ = 2 X Oi ln
i=1

Oi
Ebi

k
2
D = X (Oi − Ebi)

i=1

Ebi

cuya distribuci´on asint´otica, bajo condiciones de regularidad y si es cierto la hip´otesis nula,
χ
es 2 .
k−1−q
Como la estimaci´on del par´ametro con los datos agrupados suele ser bastante complicado,
puede utilizarse laestimaci´on con los datos de la variable pero en este caso la distribuci´on

χ
de los estad´ısticos anteriores se encuentra entre la de una 2
k−1−q

y una 2 .
χ
k−1

Para la aplicaci´on de estos test se requieren las mismas condiciones asint´oticas expuestas
anteriormente.

• Test de Kolmogorov -Smirnov
Se basa en el concepto de la funci´on de distribuci´on emp´ırica y sus...